一、题目回顾
在解决高数难题之前,我们先回顾一下题目:
题目:设函数 ( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) ),求 ( f(x) ) 在区间 ( (0, +\infty) ) 上的极值。
二、解题思路
要解决这个问题,我们需要进行以下步骤:
- 求导数:首先,我们需要求出函数 ( f(x) ) 的导数 ( f’(x) )。
- 求导数的零点:然后,我们令 ( f’(x) = 0 ),求出导数的零点。
- 判断极值:最后,我们需要判断这些零点对应的函数值是否为极值。
三、详细解答
1. 求导数
首先,我们对函数 ( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) ) 求导:
[ f’(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} ]
2. 求导数的零点
接下来,我们令 ( f’(x) = 0 ),解方程:
[ -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0 ]
将方程两边同时乘以 ( x^2 ),得到:
[ -1 + x = 0 ]
解得 ( x = 1 )。
3. 判断极值
最后,我们需要判断 ( x = 1 ) 处的函数值是否为极值。为此,我们可以观察 ( f’(x) ) 在 ( x = 1 ) 附近的符号变化。
当 ( x < 1 ) 时,( f’(x) < 0 );当 ( x > 1 ) 时,( f’(x) > 0 )。因此,( x = 1 ) 是 ( f(x) ) 的极小值点。
将 ( x = 1 ) 代入原函数 ( f(x) ),得到:
[ f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 + 0 = 1 ]
所以,函数 ( f(x) ) 在 ( x = 1 ) 处取得极小值 ( 1 )。
四、总结
通过以上步骤,我们成功解决了这个高数难题。在这个过程中,我们首先求出了函数的导数,然后求出了导数的零点,最后判断了极值。这个解题过程可以帮助我们更好地理解高数中的极值概念,并掌握求解极值的方法。
