一、题目回顾
在解决高数难题之前，我们先回顾一下题目：
题目：设函数 ( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) )，求 ( f(x) ) 在区间 ( (0, +\infty) ) 上的极值。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要进行以下步骤：
- 求导数：首先，我们需要求出函数 ( f(x) ) 的导数 ( f’(x) )。
- 求导数的零点：然后，我们令 ( f’(x) = 0 )，求出导数的零点。
- 判断极值：最后，我们需要判断这些零点对应的函数值是否为极值。
三、详细解答
1. 求导数
首先，我们对函数 ( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) ) 求导：
[ f’(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} ]
2. 求导数的零点
接下来，我们令 ( f’(x) = 0 )，解方程：
[ -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0 ]
将方程两边同时乘以 ( x^2 )，得到：
[ -1 + x = 0 ]
解得 ( x = 1 )。
3. 判断极值
最后，我们需要判断 ( x = 1 ) 处的函数值是否为极值。为此，我们可以观察 ( f’(x) ) 在 ( x = 1 ) 附近的符号变化。
当 ( x < 1 ) 时，( f’(x) < 0 )；当 ( x > 1 ) 时，( f’(x) > 0 )。因此，( x = 1 ) 是 ( f(x) ) 的极小值点。
将 ( x = 1 ) 代入原函数 ( f(x) )，得到：
[ f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 + 0 = 1 ]
所以，函数 ( f(x) ) 在 ( x = 1 ) 处取得极小值 ( 1 )。
四、总结
通过以上步骤，我们成功解决了这个高数难题。在这个过程中，我们首先求出了函数的导数，然后求出了导数的零点，最后判断了极值。这个解题过程可以帮助我们更好地理解高数中的极值概念，并掌握求解极值的方法。