第一题：极限的计算
题目：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解题技巧：
- 等价无穷小替换：当 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\)。
- 直接代入：将 \(\sin x\) 替换为 \(x\)。
解答： $\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \)$
第二题：导数的求解
题目：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 在 \(x = 2\) 处的导数。
解题技巧：
- 导数公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)。
- 代入计算：将 \(x = 2\) 代入导数公式。
解答： $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 4 - (x^3 - 3x^2 + 4)}{h} \)\( \)\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 3x^2 - 6xh - 3h^2 + 4 - x^3 + 3x^2 - 4}{h} \)\( \)\( = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 - 3h^2}{h} \)\( \)\( = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh - 3h) \)\( \)\( = 12 \)\( 因此，\)f’(2) = 12$。
第三题：级数的收敛性
题目：判断级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) 的收敛性。
解题技巧：
- 比较判别法：比较级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) 与 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}\)。
- 积分判别法：利用积分 \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx\) 判断。
解答： $\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \)\( 由于 \)\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^3}\(，且 \)\sum{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}\( 是收敛的（这是一个 \)p\(-级数，其中 \)p > 1\(），因此根据比较判别法，\)\sum{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 也是收敛的。
同时，利用积分判别法： $\( \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^\infty = 1 \)\( 由于积分收敛，级数 \)\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 也收敛。
第四题：曲线的积分
题目：计算曲线积分 \(\int_C (x^2 + y^2) \, dx + (y^2 + x^2) \, dy\)，其中 \(C\) 是单位圆 \(x^2 + y^2 = 1\)。
解题技巧：
- 格林公式：利用格林公式将曲线积分转化为面积积分。
- 计算面积：计算单位圆的面积。
解答： $\( \int_C (x^2 + y^2) \, dx + (y^2 + x^2) \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial (y^2 + x^2)}{\partial x} - \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial y} \right) \, dx \, dy \)\( \)\( = \iint_D 0 \, dx \, dy = 0 \)\( 其中 \)D\( 是单位圆内部的区域。因此，曲线积分的值为 \)0$。
第五题：矩阵的行列式
题目：计算矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) 的行列式。
解题技巧：
- 行列式公式：对于 \(2 \times 2\) 矩阵 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其行列式为 \(ad - bc\)。
解答： $\( \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \)\( 因此，矩阵的行列式为 \)-2$。
通过以上五题的解析，我们可以看到，掌握高数解题技巧对于解决这类问题至关重要。希望这些解析能帮助你更好地理解高数难题，并在今后的学习中取得更好的成绩。