题目1：函数的极值问题
题目描述
已知函数 ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 )，求函数的极大值和极小值。
解题思路
- 求函数的导数 ( f’(x) )。
- 求导数的零点，即 ( f’(x) = 0 ) 的解。
- 确定这些零点是极大值点还是极小值点。
- 计算这些极值点对应的函数值。
解题步骤
- 求导数：( f’(x) = 3x^2 - 12x + 9 )。
- 求导数的零点：( 3x^2 - 12x + 9 = 0 )，化简得 ( x^2 - 4x + 3 = 0 )。
- 解得 ( x = 1 ) 和 ( x = 3 )。
- 通过二阶导数或导数符号变化判断极值点：
- ( f”(x) = 6x - 12 )，代入 ( x = 1 ) 得 ( f”(1) = -6 )，故 ( x = 1 ) 是极大值点。
- 代入 ( x = 3 ) 得 ( f”(3) = 6 )，故 ( x = 3 ) 是极小值点。
- 计算极值：( f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 )，( f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = -5 )。
答案
- 极大值：5
- 极小值：-5
题目2：数列的求和问题
题目描述
已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和 ( S_n = 3n^2 + 2n )，求 ( a_5 )。
解题思路
- 利用数列的前 ( n ) 项和公式，求出 ( S_5 ) 和 ( S_4 )。
- 利用 ( a_n = Sn - S{n-1} ) 求出 ( a_5 )。
解题步骤
- 计算 ( S_5 )：( S_5 = 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5 = 85 )。
- 计算 ( S_4 )：( S_4 = 3 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 = 52 )。
- 求 ( a_5 )：( a_5 = S_5 - S_4 = 85 - 52 = 33 )。
答案
- ( a_5 = 33 )
题目3：三角函数的恒等变换
题目描述
已知 ( \sin \theta = \frac{1}{2} )，求 ( \cos 2\theta )。
解题思路
- 利用三角恒等式 ( \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta )。
- 代入 ( \sin \theta = \frac{1}{2} ) 求解。
解题步骤
- ( \cos 2\theta = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} )。
答案
- ( \cos 2\theta = \frac{1}{2} )
题目4：解析几何中的距离问题
题目描述
在平面直角坐标系中，点 ( A(2, 3) ) 和 ( B(-1, 1) )，求线段 ( AB ) 的长度。
解题思路
- 使用两点之间的距离公式：( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} )。
解题步骤
- 代入 ( A(2, 3) ) 和 ( B(-1, 1) ) 的坐标。
- ( d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} )。
答案
- ( AB = \sqrt{13} )
题目5：复数的运算问题
题目描述
已知复数 ( z = 3 + 4i )，求 ( z^2 )。
解题思路
- 使用复数的乘法公式：( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i )。
解题步骤
- ( z^2 = (3 + 4i)(3 + 4i) = (3 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + (3 \cdot 4 + 4 \cdot 3)i = -7 + 24i )。
答案
- ( z^2 = -7 + 24i )