在数学一的基础阶段，掌握一些经典习题对于顺利通关至关重要。这些习题不仅能够帮助你巩固基础知识，还能提高解题技巧和思维能力。以下是一些推荐的经典习题，让我们一起来看看吧！
一、极限与连续
极限的计算：
- 习题：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
- 解答：利用洛必达法则，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
连续性的判断：
- 习题：判断函数 \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。
- 解答：计算左极限、右极限和函数值，得到 \(f(0) = 0\)，\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0\)，\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。
二、导数与微分
导数的计算：
- 习题：求函数 \(f(x) = e^x \sin x\) 的导数。
- 解答：利用乘积法则和链式法则，得到 \(f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)\)。
微分的应用：
- 习题：求 \(\Delta y\)，其中 \(y = x^2\)，当 \(\Delta x = 0.1\) 时。
- 解答：利用微分公式 \(\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x\)，得到 \(\Delta y = 2x \Delta x = 2 \times 0.1 = 0.2\)。
三、不定积分
基本积分公式：
- 习题：求 \(\int x^3 \, \mathrm{d}x\)。
- 解答：利用基本积分公式 \(\int x^n \, \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，得到 \(\int x^3 \, \mathrm{d}x = \frac{x^4}{4} + C\)。
分部积分法：
- 习题：求 \(\int x \sin x \, \mathrm{d}x\)。
- 解答：利用分部积分法，设 \(u = x\)，\(\mathrm{d}v = \sin x \, \mathrm{d}x\)，得到 \(\int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x + C\)。
四、定积分
定积分的计算：
- 习题：求 \(\int_0^1 x^2 \, \mathrm{d}x\)。
- 解答：利用定积分的基本公式，得到 \(\int_0^1 x^2 \, \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}\)。
定积分的应用：
- 习题：求由曲线 \(y = x^2\) 和直线 \(x = 1\) 所围成的面积。
- 解答：利用定积分的几何意义，得到面积为 \(\int_0^1 x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\)。
通过以上经典习题的练习，相信你在数学一的基础阶段会有所收获。记住，学习数学需要持之以恒的努力，希望你能取得优异的成绩！