一、选择题部分
1. 题目一（解析）
题目：函数\(f(x) = x^3 - 3x\)的图像上，存在两点\(A\)和\(B\)，使得\(AB\)的斜率为\(-1\)，则\(\triangle OAB\)的面积为______。
答案：\(\frac{1}{2}\)
解析：
首先，我们需要找到函数\(f(x) = x^3 - 3x\)的导数，即\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。设\(A(x_1, y_1)\)和\(B(x_2, y_2)\)为图像上的两点，根据题意，\(AB\)的斜率为\(-1\)，即\(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -1\)。
由于\(y_1 = x_1^3 - 3x_1\)，\(y_2 = x_2^3 - 3x_2\)，代入斜率公式得： $\( \frac{x_2^3 - 3x_2 - (x_1^3 - 3x_1)}{x_2 - x_1} = -1 \)\( 化简后得到： \)\( x_2^3 - x_1^3 - 3(x_2 - x_1) = -1(x_2 - x_1) \)\( \)\( (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 - 4) = 0 \)\( 由于\)x_2 \neq x_1\(，我们得到\)x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 - 4 = 0$。
这是一个关于\(x_2\)的二次方程，解得\(x_2\)的值后，可以求得\(y_2\)。然后计算\(\triangle OAB\)的面积，使用三角形面积公式\(S = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高}\)，其中底为\(|x_2 - x_1|\)，高为\(|y_2|\)。
2. 题目二（解析）
题目：设\(a, b, c\)是等差数列的前三项，且\(a + b + c = 9\)，\(abc = 27\)，则\(b^2 - ac\)的值为______。
答案：9
解析：
由等差数列的性质，我们知道\(b = \frac{a + c}{2}\)。将\(a + b + c = 9\)代入，得到\(a + \frac{a + c}{2} + c = 9\)，化简得\(3a + 3c = 18\)，即\(a + c = 6\)。
又因为\(abc = 27\)，代入\(b = \frac{a + c}{2}\)得\(a \cdot \frac{a + c}{2} \cdot c = 27\)，即\(ac(a + c) = 54\)。将\(a + c = 6\)代入，得\(ac \cdot 6 = 54\)，解得\(ac = 9\)。
所以\(b^2 - ac = \left(\frac{a + c}{2}\right)^2 - ac = \frac{6^2}{4} - 9 = 9\)。
二、填空题部分
1. 题目一（解析）
题目：设复数\(z = a + bi\)（其中\(a, b \in \mathbb{R}\)），若\(|z - 1| = |z + 1|\)，则\(z\)在复平面上的轨迹是______。
答案：\(x\)轴
解析：
由复数的模长公式，\(|z - 1| = |a - 1 + bi|\)，\(|z + 1| = |a + 1 + bi|\)。根据题意，\(|z - 1| = |z + 1|\)，即\(|a - 1 + bi| = |a + 1 + bi|\)。
这意味着\((a - 1)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2\)，化简得\(a^2 - 2a + 1 = a^2 + 2a + 1\)，即\(4a = 0\)，解得\(a = 0\)。
因此，\(z = bi\)，即\(z\)在复平面上的轨迹是\(y\)轴。
三、解答题部分
1. 题目一（解析）
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，求\(f(x)\)的极值。
答案：\(f(x)\)在\(x = 1\)处取得极小值\(-2\)，在\(x = -1\)处取得极大值\(2\)。
解析：
首先求导数\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。
因此，\(f(x)\)在\(x = -1\)处取得极大值\(f(-1) = 2\)，在\(x = 1\)处取得极小值\(f(1) = -2\)。
以上是对四川高考数学2017年部分题目的答案及详细解析，希望能对大家有所帮助。