数学选修4-4是高中数学课程中的一部分，它涵盖了平面几何、立体几何、解析几何等领域的知识。以下是针对该课程课后习题的一些详解与答案揭秘，希望能帮助同学们更好地理解和掌握相关概念。
一、平面几何部分
1. 习题一：证明线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等
解答思路
要证明这个问题，我们可以利用相似三角形的性质。设线段AB的垂直平分线为CD，点E在线段CD上，连接AE和BE。
解答步骤
- 由于CD是AB的垂直平分线，所以∠CAB=∠CBD，∠CBA=∠CDA。
- 由于∠CAB和∠CBA是邻补角，所以∠CAB+∠CBA=180°，同理∠CBD+∠CDA=180°。
- 由1和2可得∠CAB+∠CBA=∠CBD+∠CDA。
- 在△ABE和△CDE中，有∠ABE=∠CDE（同位角），∠AEB=∠CDE（垂直平分线性质），∠EAB=∠ECD（同位角）。
- 由4可得△ABE≌△CDE（AAS）。
- 因此，AE=CE，BE=DE。
2. 习题二：求证圆的内接四边形对角互补
解答思路
要证明这个问题，我们可以利用圆周角定理。设四边形ABCD为圆O的内接四边形。
解答步骤
- 连接AC和BD。
- 由圆周角定理可知，∠ABC和∠ADC都是圆心角所对的圆周角，所以∠ABC=∠ADC。
- 同理，∠BAD和∠BCD都是圆心角所对的圆周角，所以∠BAD=∠BCD。
- 由2和3可得∠ABC+∠BAD=∠ADC+∠BCD。
- 由于四边形ABCD的内角和为360°，所以∠ABC+∠BAD+∠ADC+∠BCD=360°。
- 由4和5可得∠ABC+∠ADC=180°。
二、立体几何部分
1. 习题一：求证长方体的对角线相等
解答思路
要证明这个问题，我们可以利用空间几何的性质。设长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1、BC1、AB1、A1C、B1D等。
解答步骤
- 由于长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，所以AB=BC。
- 同理，长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面A1B1C1D1是矩形，所以A1B1=B1C1。
- 由于ABCD和A1B1C1D1是平行四边形，所以AB∥A1B1，BC∥B1C1。
- 由3可得AB=BC=CD=DA。
- 因此，AC1=√(AB^2+B1C1^2)=√(AB^2+BC^2)=√(BC^2+CD^2)=BC=BD。
- 同理，可得AB1=BC1=CD1=DA1。
2. 习题二：求证空间四边形ABCD的对角线相等
解答思路
要证明这个问题，我们可以利用空间几何的性质。设空间四边形ABCD的对角线AC、BD、AE、BF等。
解答步骤
- 设ABCD为平行四边形，对角线AC和BD相交于点E。
- 连接BE和CD，连接CE和AD。
- 由于ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。
- 由3可得AB∥CE，AD∥BE。
- 由于AB∥CE，所以∠ABE=∠CDE（内错角相等）。
- 由于AD∥BE，所以∠ADE=∠CBE（内错角相等）。
- 由5和6可得△ABE≌△CDE（SAS）。
- 同理可得△CBE≌△DAE。
- 由7和8可得AC=AE=BE=CD。
- 因此，AC=BD。
通过以上对数学选修4-4课后习题的详解与答案揭秘，相信同学们对相关概念有了更深入的理解。在学习过程中，遇到不懂的问题要积极思考，多做题、多总结，不断提高自己的数学思维能力。