概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的规律性。在概率论的学习中，第二章通常涉及一些核心概念和定理，如概率的基本性质、条件概率、独立性以及随机变量等。为了帮助读者轻松掌握这些核心习题的解答，以下将详细介绍一些关键知识点和例题解析。
1. 概率的基本性质
概率论中的基本性质包括非负性、规范性、可加性等。以下是一些基本性质的详细解释：
- 非负性：任何事件的概率都是非负的，即 (P(A) \geq 0)。
- 规范性：必然事件的概率为1，即 (P(S) = 1)，其中 (S) 表示样本空间。
- 可加性：如果两个事件 (A) 和 (B) 互斥，那么 (P(A \cup B) = P(A) + P(B))。
例题1：计算概率
假设掷两个公平的六面骰子，求两个骰子点数之和为7的概率。
解答：
首先，定义事件 (A) 为“第一个骰子点数为3”，事件 (B) 为“第二个骰子点数为4”。因为 (A) 和 (B) 是互斥的，所以 (P(A \cup B) = P(A) + P(B))。
(P(A) = \frac{1}{6})，因为只有一个面是3。
(P(B) = \frac{1}{6})，因为只有一个面是4。
所以，(P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3})。
2. 条件概率
条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。其公式为 (P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)})。
例题2：计算条件概率
假设一个班级有30名学生，其中20名是男生，10名是女生。随机选择一名学生，已知这名学生是女生，求这名学生是数学系学生的概率。
解答：
定义事件 (A) 为“选中的学生是女生”，事件 (B) 为“选中的学生是数学系学生”。
已知 (P(A) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3})。
假设班级中数学系学生有5名女生，那么 (P(A \cap B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6})。
因此，(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2})。
3. 独立性
两个事件 (A) 和 (B) 是独立的，如果 (P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))。
例题3：判断独立性
假设掷两个公平的硬币，求第一个硬币正面朝上且第二个硬币反面朝上的概率。
解答：
定义事件 (A) 为“第一个硬币正面朝上”，事件 (B) 为“第二个硬币反面朝上”。
因为硬币是公平的，所以 (P(A) = P(B) = \frac{1}{2})。
因为硬币是独立的，所以 (P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4})。
4. 随机变量
随机变量是一个函数，它将样本空间中的每个元素映射到一个实数。随机变量的期望值、方差和标准差是描述随机变量分布的重要统计量。
例题4：计算随机变量的期望值
假设随机变量 (X) 服从参数为 (n = 5) 和 (p = 0.5) 的二项分布，求 (X) 的期望值。
解答：
二项分布的期望值公式为 (E(X) = np)。
因此，(E(X) = 5 \cdot 0.5 = 2.5)。
通过以上例题的解析，读者可以更好地理解概率论第二章的核心内容。在实际应用中，掌握这些知识点对于解决实际问题具有重要意义。