2.1 事件的概率
习题1：掷两个公平的六面骰子，求两个骰子点数之和为7的概率。
解答思路
- 事件：两个骰子的点数之和为7。
- 首先列出所有可能的点数组合，然后统计其中和为7的组合数。
解答步骤
- 列出所有可能的点数组合：( (1,1), (1,2), \ldots, (6,6) )，共36种。
- 找出和为7的组合：( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) )，共6种。
- 计算概率：( P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} )。
答案
两个骰子点数之和为7的概率是 ( \frac{1}{6} )。
习题2：袋中有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率。
解答思路
- 事件：取出的两个球都是红球。
- 首先计算取出两个红球的总数，然后除以所有可能取出两个球的总数。
解答步骤
- 取出两个红球的总数：( C_5^2 )。
- 所有可能取出两个球的总数：( C_8^2 )。
- 计算概率：( P(B) = \frac{C_5^2}{C_8^2} )。
解答
( C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 )，( C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 )。 因此，( P(B) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} )。
2.2 条件概率与独立性
习题3：已知一个班级中，男女生人数比为3:2，随机选取一名学生，已知这名学生是女生，求这名学生是计算机专业的概率。
解答思路
- 事件：选出的学生是计算机专业的女生。
- 使用条件概率公式 ( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} )。
解答步骤
- 假设班级总人数为5人，则女生人数为 ( \frac{2}{5} \times 5 = 2 )。
- 假设计算机专业女生人数为1人。
- 计算概率：( P(C|D) = \frac{1}{2} )。
答案
这名学生是计算机专业的概率是 ( \frac{1}{2} )。
习题4：事件A和事件B相互独立，求 ( P(A \cup B) )。
解答思路
- 事件A和事件B相互独立，意味着 ( P(AB) = P(A)P(B) )。
- 使用公式 ( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) )。
解答步骤
- 由于A和B独立，( P(AB) = P(A)P(B) )。
- 假设 ( P(A) = 0.4 )，( P(B) = 0.6 )。
- 计算 ( P(A \cup B) = 0.4 + 0.6 - 0.4 \times 0.6 )。
解答
( P(A \cup B) = 1 - 0.24 = 0.76 )。
2.3 全概率公式与贝叶斯公式
习题5：一个工厂生产的产品分为三类，其中甲类产品的次品率为0.01，乙类产品的次品率为0.02，丙类产品的次品率为0.03。如果随机抽取一个产品，已知该产品是次品，求该产品属于甲类的概率。
解答思路
- 使用全概率公式计算次品的概率，然后使用贝叶斯公式求解。
解答步骤
- 设 ( A_1 )，( A_2 )，( A_3 ) 分别表示抽到甲类、乙类、丙类产品。
- ( P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} )。
- ( P(B|A_1) = 0.01 )，( P(B|A_2) = 0.02 )，( P(B|A_3) = 0.03 )。
- 计算 ( P(B) )。
- 使用贝叶斯公式 ( P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} )。
解答
( P(B) = \frac{1}{3} \times 0.01 + \frac{1}{3} \times 0.02 + \frac{1}{3} \times 0.03 = 0.017 )。 ( P(A_1|B) = \frac{0.01 \times \frac{1}{3}}{0.017} \approx 0.1765 )。
答案
该产品属于甲类的概率约为 ( 0.1765 )。