一、导数与微分
1. 导数的定义
导数是描述函数在某一点处变化率的概念。设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，则称 \(f'(x_0)\) 为函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数。
2. 导数的性质
（1）可导性：如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的每一点都可导。 （2）连续性：如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的每一点都可导。 （3）可导性与连续性的关系：如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上连续。
3. 导数的计算
（1）四则运算法则：设 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 为可导函数，则 $\( (uv)' = u'v + uv' \)\( \)\( (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)\( （2）复合函数的求导法则：设 \)u(x)\( 和 \)v(x)\( 为可导函数，且 \)v(x)\( 在 \)x_0\( 处不为零，则 \)\( (uv)' = u'v + uv' \)\( \)\( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)\( \)\( (u^n)' = nu^{n-1}u' \)\( \)\( (uv)' = u'v + uv' \)$
二、极限
1. 极限的定义
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的去心邻域内有定义，若当 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时，\(f(x)\) 的极限存在，则称 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处有极限。
2. 极限的性质
（1）存在性：如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处有极限，则 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的去心邻域内连续。 （2）唯一性：如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处有极限，则该极限唯一。 （3）可导性与连续性的关系：如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处有极限，则 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续。
3. 极限的计算
（1）夹逼定理：设 \(f(x)\)、\(g(x)\)、\(h(x)\) 为三个函数，且满足 \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，当 \(x\) 趋近于 \(x_0\) 时，\(g(x)\) 和 \(h(x)\) 的极限存在，则 \(f(x)\) 的极限存在，且 $\( \lim_{x \to x_0} g(x) \leq \lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} h(x) \)\( （2）洛必达法则：设函数 \)f(x)\( 和 \)g(x)\( 在点 \)x0\( 处可导，且 \)g’(x) \neq 0\(，则 \)$ \lim{x \to x0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim{x \to x_0} \frac{f’(x)}{g’(x)} $\( （3）等价无穷小替换：如果当 \)x \to x0\( 时，\)f(x)\( 和 \)g(x)\( 的极限都存在，且 \)$ \lim{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $\( 则称 \)f(x)\( 和 \)g(x)\( 在 \)x_0$ 处等价无穷小。
三、导数与微分的应用
1. 求函数的单调性
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，若对于任意 \(x_1, x_2 \in I\)，且 \(x_1 < x_2\)，都有 \(f'(x_1) < f'(x_2)\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调递增；若对于任意 \(x_1, x_2 \in I\)，且 \(x_1 < x_2\)，都有 \(f'(x_1) > f'(x_2)\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调递减。
2. 求函数的极值
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，若存在 \(x_0 \in I\)，使得 \(f'(x_0) = 0\)，则称 \(x_0\) 为函数 \(f(x)\) 的驻点。如果函数 \(f(x)\) 在驻点 \(x_0\) 的左右两侧导数异号，则称 \(x_0\) 为函数 \(f(x)\) 的极值点。
3. 求函数的最大值和最小值
设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上可导，若存在 \(x_0 \in I\)，使得 \(f'(x_0) = 0\)，则称 \(x_0\) 为函数 \(f(x)\) 的驻点。如果函数 \(f(x)\) 在驻点 \(x_0\) 的左右两侧导数异号，则称 \(x_0\) 为函数 \(f(x)\) 的极值点。根据极值点的性质，可以求出函数的最大值和最小值。
四、数列极限
1. 数列极限的定义
设数列 \(\{x_n\}\)，若存在常数 \(A\)，使得对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，都有 \(|x_n - A| < \epsilon\)，则称数列 \(\{x_n\}\) 的极限为 \(A\)。
2. 数列极限的性质
（1）唯一性：如果数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在，则该极限唯一。 （2）有界性：如果数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在，则该数列有界。 （3）保号性：如果数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在，则该数列的任意子数列的极限都存在，且都等于该数列的极限。
3. 数列极限的计算
（1）夹逼定理：设数列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\)、\(\{z_n\}\) 满足 \(y_n \leq x_n \leq z_n\)，且 \(\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} z_n = A\)，则 \(\lim_{n \to \infty} x_n = A\)。 （2）洛必达法则：设函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，且 \(g'(x) \neq 0\)，则 $\( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)\( （3）等价无穷小替换：如果当 \)x \to x0\( 时，\)f(x)\( 和 \)g(x)\( 的极限都存在，且 \)$ \lim{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $\( 则称 \)f(x)\( 和 \)g(x)\( 在 \)x_0$ 处等价无穷小。