计算表达式 ((x-2y)^2(x+2y)^2) 是一个涉及到多项式乘法和平方差公式的数学问题。让我们一步一步地来解析这个表达式。
步骤一：展开 ((x-2y)^2)
首先，我们需要计算 ((x-2y)^2)。根据二项式平方的公式，我们有：
[ (x-2y)^2 = (x-2y)(x-2y) ]
使用分配律（即乘法分配律），我们可以将其展开为：
[ (x-2y)(x-2y) = x \cdot x + x \cdot (-2y) + (-2y) \cdot x + (-2y) \cdot (-2y) ]
这简化为：
[ x^2 - 2xy - 2xy + 4y^2 ]
进一步合并同类项：
[ x^2 - 4xy + 4y^2 ]
步骤二：展开 ((x+2y)^2)
接下来，我们计算 ((x+2y)^2)。同样地，根据二项式平方的公式：
[ (x+2y)^2 = (x+2y)(x+2y) ]
再次使用分配律：
[ (x+2y)(x+2y) = x \cdot x + x \cdot 2y + 2y \cdot x + 2y \cdot 2y ]
这简化为：
[ x^2 + 2xy + 2xy + 4y^2 ]
合并同类项：
[ x^2 + 4xy + 4y^2 ]
步骤三：相乘并应用平方差公式
现在我们有了两个展开的表达式：
[ (x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 ] [ (x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 ]
我们需要将这两个表达式相乘：
[ (x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 + 4xy + 4y^2) ]
这是一个平方差的形式，可以写成：
[ (x^2 + 4y^2)^2 - (4xy)^2 ]
步骤四：计算最终的平方
我们分别计算这两个平方：
[ (x^2 + 4y^2)^2 = x^4 + 2x^2(4y^2) + (4y^2)^2 = x^4 + 8x^2y^2 + 16y^4 ] [ (4xy)^2 = 16x^2y^2 ]
最后，我们将这两个结果相减：
[ x^4 + 8x^2y^2 + 16y^4 - 16x^2y^2 ]
合并同类项，我们得到最终结果：
[ x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 ]
因此，((x-2y)^2(x+2y)^2) 的结果是 (x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4)。这个结果展示了多项式乘法和平方差公式在解决复杂代数表达式中的强大作用。