引言
微积分作为高等数学的核心内容，对于理工科学生来说至关重要。掌握微积分的核心技巧，对于解决各类难题具有指导意义。本文将针对微积分第三版教材中的难题，提供一课一练的解答思路，帮助读者深入理解微积分的基本概念和解决方法。
第一课：极限的计算
核心技巧
- 洛必达法则：适用于“0/0”型或“∞/∞”型未定式。
- 夹逼定理：通过构造夹逼函数，判断极限值。
- 无穷小替换：将复杂函数转化为简单函数进行计算。
难题解答
题目：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：
洛必达法则：由于原式为“0/0”型未定式，可以使用洛必达法则。 $\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1\)$
夹逼定理：构造夹逼函数 \(f(x) = x\) 和 \(g(x) = 1\)，则有 \(f(x) \leq \frac{\sin x}{x} \leq g(x)\)。当 \(x \to 0\) 时，\(f(x) \to 0\)，\(g(x) \to 1\)，因此 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
无穷小替换：将 \(\sin x\) 替换为 \(\frac{x}{6}\)（当 \(x \to 0\) 时），则有 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{6}}{x} = \frac{1}{6}\)。
第二课：导数的计算
核心技巧
- 导数公式：熟练掌握基本函数的导数公式。
- 求导法则：包括和差、积、商的求导法则。
- 隐函数求导：对隐函数求导时，要正确处理变量。
难题解答
题目：求函数 \(y = e^{x^2}\) 的导数。
解答：
导数公式：根据导数公式，有 \((e^u)' = e^u \cdot u'\)。 $\(y' = (e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x\)$
求导法则：根据求导法则，有 \((u^2)' = 2u \cdot u'\)。 $\(y' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}\)$
隐函数求导：将 \(y = e^{x^2}\) 视为隐函数，对 \(x\) 求导。 $\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot 2x\)$
第三课：不定积分的计算
核心技巧
- 基本积分公式：熟练掌握基本积分公式。
- 换元积分法：通过换元，将复杂积分转化为简单积分。
- 分部积分法：适用于某些特定类型的积分。
难题解答
题目：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\)。
解答：
基本积分公式：根据基本积分公式，有 \(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C\)。
换元积分法：令 \(u = x-1\)，则 \(du = dx\)。原式可化为 \(\int \frac{1}{u^2} \, du\)，再根据基本积分公式求解。
分部积分法：令 \(u = 1\)，\(dv = \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\)，则 \(du = 0\)，\(v = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|\)。根据分部积分法，有 $\(\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C\)$
总结
通过以上三课的讲解，读者可以掌握微积分第三版教材中一些常见难题的解答方法。在实际学习中，要注重基本概念的理解和方法的运用，不断提高自己的解题能力。