引言
微积分作为高等数学的基础，对于理工科学生来说至关重要。第三版微积分教材在内容上更加丰富，难度也相应提高。本文将针对微积分第三版教材中的典型难题进行详细解析，帮助读者轻松攻克难题，掌握核心知识。
第一章 导数与微分
1.1 导数的概念
导数是微积分的核心概念之一。以下是一个导数概念的例子：
例1.1：求函数 ( f(x) = x^2 ) 在 ( x = 2 ) 处的导数。
解析： [ f’(x) = \lim{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x ] 因此，( f’(2) = 2 \times 2 = 4 )。
1.2 微分
微分是导数的近似，以下是一个微分应用的例子：
例1.2：求函数 ( f(x) = e^x ) 在 ( x = 1 ) 处的微分。
解析： [ df = f’(x) \cdot dx = e^x \cdot dx ] 因此，( df = e^1 \cdot dx = e \cdot dx )。
第二章 导数的应用
2.1 函数的单调性
函数的单调性是判断函数增减趋势的重要依据。以下是一个单调性的例子：
例2.1：判断函数 ( f(x) = x^3 - 3x ) 在区间 ( (-\infty, +\infty) ) 上的单调性。
解析： [ f’(x) = 3x^2 - 3 ] 令 ( f’(x) = 0 )，解得 ( x = \pm 1 )。当 ( x < -1 ) 或 ( x > 1 ) 时，( f’(x) > 0 )，函数单调递增；当 ( -1 < x < 1 ) 时，( f’(x) < 0 )，函数单调递减。
2.2 函数的极值
函数的极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。以下是一个极值的例子：
例2.2：求函数 ( f(x) = x^3 - 3x ) 在区间 ( (-\infty, +\infty) ) 上的极值。
解析： 由例2.1可知，函数在 ( x = -1 ) 和 ( x = 1 ) 处有极值。计算 ( f(-1) = 2 ) 和 ( f(1) = -2 )，因此函数在 ( x = -1 ) 处取得极大值2，在 ( x = 1 ) 处取得极小值-2。
第三章 不定积分
3.1 不定积分的概念
不定积分是微积分的基本运算之一。以下是一个不定积分的例子：
例3.1：求函数 ( f(x) = e^x ) 的不定积分。
解析： [ \int e^x \, dx = e^x + C ] 其中，( C ) 为任意常数。
3.2 积分技巧
积分技巧是解决积分问题的重要手段。以下是一个积分技巧应用的例子：
例3.2：求函数 ( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} ) 的不定积分。
解析： [ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x + C ] 其中，( C ) 为任意常数。
总结
通过以上对微积分第三版教材中典型难题的解析，相信读者能够更好地理解微积分的核心知识，轻松攻克难题。在学习过程中，要多做练习，积累经验，不断提高自己的数学能力。