假设我们有一个不等式问题，如下所示：
问题：已知函数 ( f(x) = 3x^2 - 4x + 1 )，求不等式 ( f(x) > 0 ) 的解集。
为了解决这个问题，我们需要遵循以下步骤：
步骤 1：理解不等式
首先，我们需要理解不等式 ( f(x) > 0 ) 的含义。这意味着我们要找到所有使得 ( f(x) ) 的值大于零的 ( x ) 的值。
步骤 2：求解不等式
为了求解 ( f(x) > 0 )，我们需要先找到函数 ( f(x) ) 的根，即解方程 ( 3x^2 - 4x + 1 = 0 )。
解方程
我们可以使用求根公式来解这个二次方程：
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
其中，( a = 3 )，( b = -4 )，( c = 1 )。将这些值代入公式，我们得到：
[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} ]
[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} ]
[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} ]
[ x = \frac{4 \pm 2}{6} ]
这给出了两个解：
[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 ] [ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} ]
分析解
现在我们知道 ( x = 1 ) 和 ( x = \frac{1}{3} ) 是函数 ( f(x) ) 的根。为了确定 ( f(x) > 0 ) 的解集，我们需要分析函数在这两个根之间的行为。
步骤 3：确定解集
我们可以通过测试 ( x ) 的值来确定 ( f(x) ) 在 ( x = \frac{1}{3} ) 和 ( x = 1 ) 之间的符号。例如，我们可以选择 ( x = 0.5 )：
[ f(0.5) = 3(0.5)^2 - 4(0.5) + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25 ]
因为 ( f(0.5) < 0 )，我们知道在 ( x = \frac{1}{3} ) 和 ( x = 1 ) 之间，函数 ( f(x) ) 的值是负的。
现在，我们可以测试 ( x ) 的值在 ( x = \frac{1}{3} ) 的左侧和 ( x = 1 ) 的右侧：
当 ( x < \frac{1}{3} )，例如 ( x = 0 )： [ f(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 ] 因为 ( f(0) > 0 )，我们知道在 ( x = \frac{1}{3} ) 的左侧，函数 ( f(x) ) 的值是正的。
当 ( x > 1 )，例如 ( x = 2 )： [ f(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 ] 因为 ( f(2) > 0 )，我们知道在 ( x = 1 ) 的右侧，函数 ( f(x) ) 的值也是正的。
步骤 4：得出结论
综合以上分析，我们可以得出不等式 ( f(x) > 0 ) 的解集为：
[ x \in \left( -\infty, \frac{1}{3} \right) \cup \left( 1, +\infty \right) ]
这就是求解不等式 ( f(x) > 0 ) 的完整过程。希望这个例子能够帮助你更好地理解如何求解类似的不等式问题。