引言
数学作为一门基础学科，在各个学段的学习中都有着举足轻重的地位。面对月考这样的阶段性检测，掌握解题技巧和策略显得尤为重要。本文将针对重庆一中月考中的数学难题进行详细解析，帮助同学们轻松应对考试挑战。
一、问题一：解析几何题
题目描述
设椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左顶点为\(A\)，直线 \(y = kx + b\) 与椭圆相切于点\(B\)，且\(\angle ABO = 45^\circ\)，其中\(O\)为坐标原点。求\(k\)和\(b\)的值。
解题步骤
- 确定切点坐标：由题意知，直线 \(y = kx + b\) 与椭圆相切，可设切点坐标为 \((x_0, y_0)\)。
- 建立方程组：将切点坐标代入椭圆方程和直线方程，得到方程组。
- 求解方程组：通过求解方程组，得到切点坐标。
- 求解斜率\(k\)：利用点\(A\)和切点\(B\)的坐标，计算直线\(AB\)的斜率\(k\)。
- 求解\(b\)：结合\(\angle ABO = 45^\circ\)的条件，求解\(b\)的值。
代码示例
from sympy import symbols, Eq, solve
# 定义变量
x, y, a, b, k, b_val = symbols('x y a b k b_val')
# 椭圆方程
ellipse_eq = Eq(x**2 / a**2 + y**2 / b**2, 1)
# 直线方程
line_eq = Eq(y, k*x + b_val)
# 求解切点坐标
tangent_points = solve([ellipse_eq, line_eq], (x, y))
# 求解斜率k
k_val = (tangent_points[1][1] - 0) / (tangent_points[1][0] - (-a))
# 求解b
b_val = solve(Eq(b_val, -k_val*a), b_val)
print("k =", k_val)
print("b =", b_val)
二、问题二：数列问题
题目描述
已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n^2 - a_n\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。
解题步骤
- 确定数列通项公式：通过递推关系式，得到数列的通项公式。
- 计算极限：利用数列通项公式，求解数列的极限。
代码示例
from sympy import symbols, limit, simplify
# 定义变量
n = symbols('n')
a_n = symbols('a_n')
# 数列通项公式
a_n_formula = a_n**2 - a_n
# 求解极限
limit_val = limit(a_n / a_n.subs(a_n, a_n_formula), n, float('inf'))
print("极限值为：", simplify(limit_val))
三、总结
通过对重庆一中月考数学难题的解析，我们可以看到，解决这类问题需要具备扎实的数学基础和解题技巧。通过以上解析，相信同学们能够更好地应对考试挑战，提高自己的数学水平。