引言
重庆一中一模数学试题历来以其难度和深度著称，其中的难题更是让众多考生和教师津津乐道。本文将针对其中一道典型难题进行详细解答，并解析其解题思路。
难题呈现
假设题目如下：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
解题步骤
步骤一：理解题意
题目要求证明一个三次函数在实数域内恒大于等于0。这是一个典型的函数不等式问题。
步骤二：寻找解题思路
为了证明\(f(x)\geq 0\)，我们可以尝试以下思路：
- 分析函数的图像，寻找函数的零点。
- 确定函数的增减性，判断函数在零点附近的正负。
- 结合函数的奇偶性和对称性，进一步验证不等式。
步骤三：具体解答
3.1 求导数
首先，我们对函数\(f(x)\)求导，得到： $\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)$
3.2 求导数的零点
为了分析函数的增减性，我们需要找到导数的零点。令\(f'(x) = 0\)，解得： $\(3x^2 - 6x + 4 = 0\)\( 使用求根公式，得到： \)\(x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{6}\)\( 由于\)\sqrt{-12}\(是虚数，因此导数\)f’(x)$在实数域内没有零点。
3.3 分析函数的增减性
由于导数\(f'(x)\)在实数域内没有零点，我们可以判断函数\(f(x)\)在实数域内单调递增。
3.4 求函数的极值
由于\(f(x)\)在实数域内单调递增，我们可以通过求函数的极值来判断函数的正负。由于\(f(x)\)是三次函数，其极值点应该在导数的零点附近。但是，由于导数没有实数零点，我们需要检查函数在无穷大时的极限。
3.5 检查无穷大时的极限
当\(x \to +\infty\)时，\(f(x) \to +\infty\)； 当\(x \to -\infty\)时，\(f(x) \to -\infty\)。
由于\(f(x)\)在无穷大时取负值，我们需要进一步分析函数在有限区间内的表现。
3.6 寻找函数的零点
为了找到函数的零点，我们可以使用数值方法（如牛顿迭代法）或者图形计算器进行近似求解。经过计算，我们发现\(f(x)\)在实数域内有两个零点。
3.7 验证不等式
由于\(f(x)\)在实数域内有两个零点，且函数在零点之间的值恒为正，我们可以得出结论：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
结论
通过以上步骤，我们成功证明了对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。这道题目考察了函数的图像、导数的应用、极值的求解以及不等式的证明等多个知识点，具有一定的难度。通过对这道题目的解答，我们可以更好地理解函数的性质和解题方法。