揭秘高中数学难题：一课一练，答案详解，助力满分冲刺

一、高中数学难题解析的重要性

高中数学作为基础教育的重要组成部分，不仅为学生的未来学习奠定基础，更是高考中的一大重点和难点。面对日益复杂的数学难题，掌握正确的解题思路和方法至关重要。本文将围绕一课一练的形式，深入解析高中数学难题，提供详细的答案解析，助力同学们在高考中取得满分。

一课一练是指针对每节课所学的知识点，设计一套具有针对性的练习题，通过反复练习，巩固所学知识，提高解题能力。

题目：在平面直角坐标系中，设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点为$A$，左焦点为$F_1$，若点$P$是椭圆上的动点，且$\angle APF_1=90^\circ$，求证：点$P$的轨迹为圆。

解答：

建立坐标系：以$A$为原点，$AF_1$为$x$轴，建立平面直角坐标系。
坐标表示：设椭圆上动点$P(x,y)$，则椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
求角度：由题意，$\angle APF_1=90^\circ$，可得$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PF_1}=0$。
坐标表示：将$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{PF_1}$的坐标代入，得到$(x-a)\cdot(x+\frac{a^2-b^2}{c})+y\cdot(-y)=0$。
化简方程：化简得到$x^2+y^2=a^2-b^2$。
结论：因此，点$P$的轨迹为圆，圆心为$(\frac{a^2-b^2}{2},0)$，半径为$\frac{a^2-b^2}{2}$。

题目：已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，$E$为$AB$的中点，$F$为$BC$的中点，$G$为$CC_1$的中点，求证：$EFG$平面与$A_1D_1C_1$平面的距离等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

解答：

建立坐标系：以$D$为原点，$DA$为$x$轴，$DC$为$y$轴，$DD_1$为$z$轴，建立空间直角坐标系。
坐标表示：设$A(a,0,0)$，$B(0,a,0)$，$C(0,0,a)$，$A_1(a,0,a)$，$D_1(0,0,a)$，$E(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)$，$F(\frac{a}{2},0,a)$，$G(0,\frac{a}{2},a)$。
求距离：设$EFG$平面与$A_1D_1C_1$平面的交线为$l$，$l$上的任意一点为$P(x,y,z)$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{C_1D_1}$。
坐标表示：将$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{A_1D_1}$，$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{B_1C_1}$，$\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{C_1D_1}$的坐标代入，得到以下方程组： $$ \begin{cases} (x-a)\cdot(a,0,a)=(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0)\cdot(0,0,a)\\ (x-a)\cdot(a,0,a)=(\frac{a}{2},0,a)\cdot(a,0,a)\\ (x-a)\cdot(a,0,a)=(0,\frac{a}{2},a)\cdot(0,0,a) \end{cases} $$
求解：解得$x=\frac{a}{2}$，$y=\frac{a}{2}$，$z=a$。
结论：因此，$EFG$平面与$A_1D_1C_1$平面的距离为$\sqrt{(\frac{a}{2}-a)^2+(\frac{a}{2}-0)^2+(a-0)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

本文通过对高中数学难题的解析，展示了如何运用一课一练的方式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。在备考过程中，同学们要注重基础知识的积累，多做题、多思考，才能在高考中取得理想的成绩。