欧拉公式是复变函数中的一个重要公式，它建立了复数指数函数和三角函数之间的联系。公式表达为 ( e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta )，其中 ( e ) 是自然对数的底数，( i ) 是虚数单位，( \theta ) 是实数角度。这个公式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。为了帮助你更好地理解欧拉公式，下面提供了10个实用例题，并逐一进行详细解析。
例题1：求 ( e^{i\pi} ) 的值
解答： [ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + i \times 0 = -1 ]
解析： 这是一个最基础的欧拉公式应用，直接将 ( \theta ) 替换为 ( \pi ) 即可。
例题2：求 ( e^{i\frac{\pi}{2}} ) 的值
解答： [ e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i \times 1 = i ]
解析： 这个例题展示了当 ( \theta ) 为 ( \frac{\pi}{2} ) 时的特殊情况，结果是纯虚数 ( i )。
例题3：验证 ( e^{i\pi} + 1 = 0 )
解答： [ e^{i\pi} + 1 = (-1) + 1 = 0 ]
解析： 这个等式是数学史上著名的欧拉恒等式，是欧拉公式的一个直接结果。
例题4：求复数 ( z = 2e^{i\frac{\pi}{3}} ) 的模和辐角
解答： 模：( |z| = |2e^{i\frac{\pi}{3}}| = 2 ) 辐角：( \text{Arg}(z) = \frac{\pi}{3} )
解析： 复数 ( z ) 的模是复数 ( z ) 的实部和虚部平方和的平方根。辐角是复数 ( z ) 在复平面上的角度。
例题5：将复数 ( z = 1 + i ) 转换为指数形式
解答： 首先计算 ( z ) 的模和辐角： 模：( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ) 辐角：( \text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} )
因此，指数形式为： [ z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} ]
解析： 复数可以表示为 ( z = re^{i\theta} )，其中 ( r ) 是模，( \theta ) 是辐角。
例题6：求复数 ( z = e^{i2\pi} ) 的值
解答： [ z = e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + i \times 0 = 1 ]
解析： 由于 ( \cos(2\pi) = 1 ) 和 ( \sin(2\pi) = 0 )，因此 ( e^{i2\pi} ) 的结果是 1。
例题7：验证 ( e^{i\pi} \cdot e^{i\pi} = e^{2i\pi} )
解答： [ e^{i\pi} \cdot e^{i\pi} = (-1) \cdot (-1) = 1 ] [ e^{2i\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 ]
解析： 指数法则 ( e^{a} \cdot e^{b} = e^{a+b} ) 在欧拉公式中同样适用。
例题8：求复数 ( z = 3e^{i\frac{\pi}{6}} ) 的实部和虚部
解答： 实部：( \text{Re}(z) = 3\cos\frac{\pi}{6} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} ) 虚部：( \text{Im}(z) = 3\sin\frac{\pi}{6} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} )
解析： 复数的实部和虚部可以通过模和辐角直接计算得到。
例题9：求 ( \sin(3\theta) ) 的值，其中 ( \theta = \frac{\pi}{6} )
解答： 使用欧拉公式和三角函数的和差公式： [ \sin(3\theta) = \sin(2\theta + \theta) = \sin(2\theta)\cos(\theta) + \cos(2\theta)\sin(\theta) ] [ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) ] [ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) ] 代入 ( \theta = \frac{\pi}{6} )： [ \sin(3\theta) = 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} + (\cos^2\frac{\pi}{6} - \sin^2\frac{\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6} ] [ \sin(3\theta) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) \times \frac{1}{2} ] [ \sin(3\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} ] [ \sin(3\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{4} ]
解析： 这个例题展示了如何使用欧拉公式和三角恒等式来求解三角函数的值。
例题10：求 ( \cos(5\theta) ) 的值，其中 ( \theta = \frac{\pi}{4} )
解答： 使用欧拉公式和三角函数的和差公式： [ \cos(5\theta) = \cos(4\theta + \theta) = \cos(4\theta)\cos(\theta) - \sin(4\theta)\sin(\theta) ] [ \cos(4\theta) = \cos^2(2\theta) - \sin^2(2\theta) ] [ \sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) ] 代入 ( \theta = \frac{\pi}{4} )： [ \cos(5\theta) = \cos^2\frac{\pi}{2} - \sin^2\frac{\pi}{2} \times \cos\frac{\pi}{4} - 2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} \times \sin\frac{\pi}{4} ] [ \cos(5\theta) = 0 - 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \times 1 \times 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \cos(5\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]
解析： 这个例题展示了如何求解复数角度的正弦和余弦值。
通过这些例题，你对欧拉公式应该有了更深入的理解。记住，数学学习是一个逐步积累的过程，不断练习和应用是掌握欧拉公式的关键。