一、选择题解析
1. 题目一
题目内容：已知函数\(f(x) = \frac{1}{x} + \ln x\)，求\(f(x)\)的极值。
解题步骤：
- 求导数：\(f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\)。
- 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)。
- 检查二阶导数：\(f''(x) = \frac{2}{x^3}\)，在\(x = 1\)时，\(f''(1) = 2 > 0\)，故\(x = 1\)是极小值点。
- 计算极小值：\(f(1) = 1 + \ln 1 = 1\)。
答案：极小值为1。
2. 题目二
题目内容：若向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)，\(\vec{b} = (3, 4, 5)\)，求\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的点积。
解题步骤：
- 点积公式：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)。
- 带入数值：\(1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 = 3 + 8 + 15 = 26\)。
答案：点积为26。
二、填空题解析
1. 题目一
题目内容：若等差数列\(\{a_n\}\)的第一项为2，公差为3，求第10项。
解题步骤：
- 等差数列通项公式：\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)。
- 带入数值：\(a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 27 = 29\)。
答案：第10项为29。
2. 题目二
题目内容：若复数\(z = a + bi\)（其中\(a, b \in \mathbb{R}\)）满足\(|z - 1| = |z + 1|\)，求实数\(a\)和\(b\)的值。
解题步骤：
- 复数模长公式：\(|z - 1| = \sqrt{(a - 1)^2 + b^2}\)，\(|z + 1| = \sqrt{(a + 1)^2 + b^2}\)。
- 建立方程：\(\sqrt{(a - 1)^2 + b^2} = \sqrt{(a + 1)^2 + b^2}\)。
- 平方两边：\((a - 1)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2\)。
- 化简：\(a^2 - 2a + 1 = a^2 + 2a + 1\)。
- 解得：\(a = 0\)。
- 将\(a = 0\)代入原方程，得\(b^2 = 1\)，解得\(b = \pm 1\)。
答案：\(a = 0\)，\(b = \pm 1\)。
三、解答题解析
1. 题目一
题目内容：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)，求\(f(x)\)的极值。
解题步骤：
- 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)。
- 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 1\)或\(x = \frac{2}{3}\)。
- 检查二阶导数：\(f''(x) = 6x - 6\)，在\(x = 1\)时，\(f''(1) = 0\)，在\(x = \frac{2}{3}\)时，\(f''(\frac{2}{3}) = 0\)。
- 由于\(f''(x)\)在\(x = 1\)和\(x = \frac{2}{3}\)处均为0，需要进一步判断。
- 计算\(f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3\)，\(f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3 \times (\frac{2}{3})^2 + 4 \times \frac{2}{3} + 1 = \frac{11}{27}\)。
- 综合判断，\(x = 1\)是极大值点，\(x = \frac{2}{3}\)是极小值点。
答案：极大值为3，极小值为\(\frac{11}{27}\)。
2. 题目二
题目内容：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求前\(n\)项和\(S_n\)。
解题步骤：
- 数列前\(n\)项和公式：\(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)。
- 带入通项公式：\(S_n = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + \ldots + (2^n - 1)\)。
- 化简：\(S_n = (2^1 + 2^2 + \ldots + 2^n) - n\)。
- 使用等比数列求和公式：\(S_n = \frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2} - n = 2^{n+1} - 2 - n\)。
答案：前\(n\)项和\(S_n = 2^{n+1} - 2 - n\)。