一、2018年全国高考数学导数难题解析
1. 难题一：函数的单调性与极值
题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx - c\)，其中\(a, b, c\)为常数。若\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值，求\(a, b, c\)的值。
解析：
首先，我们需要求出函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，即： $\(f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b\)$
由于\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值，根据极值点的性质，我们有： $\(f'(1) = 0\)$
将\(x=1\)代入\(f'(x)\)中，得到： $\(3 - 6a + 3b = 0 \quad \text{(1)}\)$
接下来，我们需要利用\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极小值的性质，即\(f''(1) > 0\)。求出\(f''(x)\)，即： $\(f''(x) = 6x - 6a\)$
将\(x=1\)代入\(f''(x)\)中，得到： $\(6 - 6a > 0 \quad \text{(2)}\)$
由(1)和(2)解得\(a = 1\)，代入(1)中解得\(b = 1\)，代入\(f(x)\)中得\(c = 1\)。
2. 难题二：数列的极限与无穷递缩
题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{3}\)，求\(\lim_{n \to \infty} a_n\)。
解析：
首先，我们可以构造数列\(\{b_n\}\)，使得\(b_n = \frac{a_n}{3}\)。则有： $\(b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{9}\)$
注意到\(b_1 = \frac{1}{3}\)，我们可以猜测\(\{b_n\}\)可能是一个无穷递缩数列。为了证明这一点，我们需要证明\(b_{n+1} < b_n\)。
\[b_{n+1} - b_n = \frac{1}{2}b_n + \frac{1}{9} - b_n = \frac{1}{9} - \frac{1}{2}b_n\]
由于\(b_1 = \frac{1}{3}\)，我们可以得到： $\(b_2 = \frac{1}{2}b_1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5}{18} < \frac{1}{3} = b_1\)$
假设对于某个\(k\)，\(b_{k+1} < b_k\)成立，则： $\(b_{k+2} = \frac{1}{2}b_{k+1} + \frac{1}{9} < \frac{1}{2}b_k + \frac{1}{9} = b_{k+1}\)$
由数学归纳法可知，对于所有的\(n\)，\(b_{n+1} < b_n\)成立。因此，\(\{b_n\}\)是一个无穷递缩数列。
由于\(b_{n+1} < b_n\)，我们有： $\(\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3} = \lim_{n \to \infty} b_1 = \frac{1}{3}\)$
因此，\(\lim_{n \to \infty} a_n = 3 \times \frac{1}{3} = 1\)。
二、备考攻略
1. 熟悉导数概念及性质
导数是高考数学中的重要知识点，我们需要熟练掌握导数的概念、求导法则、导数的几何意义等。
2. 熟练运用导数解决实际问题
导数在解决实际问题中的应用非常广泛，例如函数的单调性、极值、最值等。我们需要通过大量的练习，提高运用导数解决实际问题的能力。
3. 注重数列的极限与无穷递缩
数列的极限与无穷递缩是高考数学中的高频考点，我们需要熟练掌握数列的极限概念、无穷递缩数列的判定方法等。
4. 多做真题，总结规律
高考数学的真题是备考的重要资源，通过做真题，我们可以了解高考的命题规律，提高自己的应试能力。
5. 保持良好的心态
高考是一个重要的转折点，我们需要保持良好的心态，相信自己，勇敢面对挑战。