第一部分：代数
一元二次方程
题目
设函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c )（其中 ( a \neq 0 )），若 ( f(x) ) 在 ( x = 1 ) 处取得极值，则 ( b ) 的值为：
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
解析
由题意知，( f(x) ) 在 ( x = 1 ) 处取得极值，即 ( f’(1) = 0 )。
首先求导数： [ f’(x) = 2ax + b ]
将 ( x = 1 ) 代入，得： [ f’(1) = 2a + b = 0 ]
因此，( b = -2a )。
由于 ( a \neq 0 )，可以得出 ( b ) 的值。
答案
A. 2
二元一次方程组
题目
已知方程组 [ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x - y = 1 \end{cases} ] 的解为：
A. ( x = 2, y = 1 )
B. ( x = 1, y = 2 )
C. ( x = 0, y = 3 )
D. ( x = 3, y = 0 )
解析
采用消元法解方程组。
首先将第一个方程乘以 2，第二个方程乘以 3，得： [ \begin{cases} 4x + 6y = 14 \ 12x - 3y = 3 \end{cases} ]
然后将两个方程相加，消去 ( y )： [ 16x = 17 ]
解得 ( x = \frac{17}{16} )。
将 ( x ) 的值代入第一个方程，得： [ 2 \times \frac{17}{16} + 3y = 7 ] [ y = \frac{9}{16} ]
因此，方程组的解为 ( x = \frac{17}{16}, y = \frac{9}{16} )。
答案
A. ( x = 2, y = 1 )
第二部分：几何
圆锥曲线
题目
已知椭圆的标准方程为 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 )，若椭圆的离心率 ( e = \frac{\sqrt{3}}{2} )，则 ( a ) 和 ( b ) 的值为：
A. ( a = 2, b = 1 )
B. ( a = 1, b = 2 )
C. ( a = \sqrt{3}, b = 1 )
D. ( a = 1, b = \sqrt{3} )
解析
椭圆的离心率 ( e ) 的定义是 ( e = \frac{c}{a} )，其中 ( c ) 是椭圆的焦距。
由题意知 ( e = \frac{\sqrt{3}}{2} )，所以 ( c = \frac{\sqrt{3}}{2}a )。
椭圆的焦距 ( c ) 与 ( a ) 和 ( b ) 的关系是 ( c^2 = a^2 - b^2 )。
将 ( c = \frac{\sqrt{3}}{2}a ) 代入，得： [ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 = a^2 - b^2 ] [ \frac{3}{4}a^2 = a^2 - b^2 ] [ b^2 = \frac{1}{4}a^2 ]
由于 ( a^2 > b^2 )，可以得出 ( a = 2, b = 1 )。
答案
A. ( a = 2, b = 1 )
第三部分：概率与统计
离散型随机变量
题目
已知离散型随机变量 ( X ) 的分布列为： [ X: \quad 1 \quad 2 \quad 3 ] [ P(X): \quad \frac{1}{4} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{1}{4} ]
求 ( X ) 的期望值 ( E(X) )。
解析
离散型随机变量的期望值 ( E(X) ) 的计算公式是： [ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) ]
将给定的分布列代入公式，得： [ E(X) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{4} ] [ E(X) = \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{4} ] [ E(X) = 2 ]
因此，( X ) 的期望值 ( E(X) ) 为 2。
答案
( E(X) = 2 )
总结
以上是对 2017 考研数学二真题中代数、几何和概率与统计三个部分的详细解析。通过这些解析，希望能帮助考生更好地理解得分点，为接下来的考研之路做好准备。