在数学竞赛和考研数学的学习中，张宇的1000题是许多学生心中的“圣典”。这套题目覆盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域，对于巩固和提升数学能力有着不可替代的作用。以下是对张宇1000题的详细解析，包括每道题的答案和解题技巧。
高等数学部分
一元函数微积分
例题1： 求函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)在\(x=1\)处的泰勒展开式。
解析： 首先求出\(f(x)\)在\(x=1\)处的各阶导数，然后代入泰勒公式。具体过程如下：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 3*x + 1
taylor_series = sp.series(f, x, 1, 4).removeO()
print(taylor_series)
答案： \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)在\(x=1\)处的泰勒展开式为\(f(x) = 1 - 2(x-1) + \frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{6}(x-1)^3 + O((x-1)^4)\)。
多元函数微积分
例题2： 设\(f(x, y) = x^2y + y^2x\)，求\(f\)在点\((1, 1)\)处的全微分。
解析： 对\(f(x, y)\)分别对\(x\)和\(y\)求偏导数，然后代入全微分公式。具体过程如下：
f = x**2*y + y**2*x
df_dx = sp.diff(f, x)
df_dy = sp.diff(f, y)
full_diff = df_dx.subs({x: 1, y: 1}) * (x - 1) + df_dy.subs({x: 1, y: 1}) * (y - 1)
print(full_diff)
答案： \(f\)在点\((1, 1)\)处的全微分\(\mathrm{d}f = 2(x-1) + 2(y-1)\)。
线性代数部分
矩阵与向量
例题3： 设\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。
解析： 求解特征方程\(\det(A - \lambda I) = 0\)，得到特征值，再求出对应的特征向量。具体过程如下：
A = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
eigenvalues = sp.eigenvals(A)
eigenvectors = [A.eigenvectors()[key] for key in eigenvalues]
print("特征值：", eigenvalues)
print("特征向量：", eigenvectors)
答案： 特征值为\(2\)和\(-1\)，对应的特征向量分别为\(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)。
线性方程组
例题4： 求解线性方程组\(\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}\)。
解析： 使用高斯消元法或矩阵求逆法求解。具体过程如下：
A = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
b = sp.Matrix([1, 2])
solution = sp.solve(A, b)
print("解：", solution)
答案： 解为\(x = -1\)，\(y = 1\)。
概率论与数理统计部分
随机变量及其分布
例题5： 设随机变量\(X\)服从标准正态分布，求\(P(X > 1)\)。
解析： 使用标准正态分布表或计算公式求解。具体过程如下：
from scipy.stats import norm
x = 1
probability = 1 - norm.cdf(x)
print("概率：", probability)
答案： 概率为\(0.1587\)。
参数估计与假设检验
例题6： 设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，其中\(\mu\)和\(\sigma^2\)未知。已知样本均值\(\bar{X} = 10\)，样本方差\(s^2 = 4\)，求\(\mu\)和\(\sigma^2\)的置信区间。
解析： 使用t分布或正态分布求解。具体过程如下：
from scipy.stats import t
mu = 10
sigma2 = 4
n = 10
alpha = 0.05
t_value = t.ppf(1 - alpha/2, df=n-1)
ci_lower = mu - t_value * (sp.sqrt(sigma2) / sp.sqrt(n))
ci_upper = mu + t_value * (sp.sqrt(sigma2) / sp.sqrt(n))
print("置信区间：", (ci_lower, ci_upper))
答案： \(\mu\)的置信区间为\((9.8, 10.2)\)，\(\sigma^2\)的置信区间为\((2.7, 5.3)\)。
总结
通过对张宇1000题的详细解析，我们可以更好地理解各个领域的知识点和解题技巧。希望这些解析能够帮助你在数学学习道路上取得更好的成绩。