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掌握最优反馈控制，看这些经典例题解析，轻松应对考试挑战

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在控制理论中，最优反馈控制是一个重要的研究领域。它涉及到如何设计控制器，使得系统在特定的性能指标下达到最优状态。以下是一些经典例题的解析，帮助你更好地理解和掌握最优反馈控制，从而轻松应对考试挑战。

例题1：线性二次调节器（LQR）

题目描述

给定一个线性时变系统，其状态方程和输出方程如下： [ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) ] [ y(t) = Cx(t) ] 其中，( A ) 是系统矩阵，( B ) 是输入矩阵，( C ) 是输出矩阵。要求设计一个线性反馈控制器 ( K )，使得闭环系统的性能指标 [ J = \int_{0}^{\infty} x^{\mathrm{T}}(t)Qx(t) + u^{\mathrm{T}}(t)Ru(t) \, dt ] 达到最小。

解题步骤

  1. 确定权重矩阵：根据性能指标，确定权重矩阵 ( Q ) 和 ( R )。
  2. 求解代数方程：通过求解 ( (A + BK)^{\mathrm{T}}(A + BK) - Q = 0 )，得到控制器 ( K )。
  3. 验证稳定性：检查闭环系统的特征值是否都在单位圆内。

代码示例

import numpy as np

# 系统矩阵
A = np.array([[0, 1], [-1, -2]])
# 输入矩阵
B = np.array([1, 0])
# 输出矩阵
C = np.array([1, 0])
# 权重矩阵
Q = np.array([[1, 0], [0, 1]])
R = np.array([[1]])

# 求解控制器
K = np.linalg.solve(A.T @ A + B.T @ R @ B, -A.T @ R @ B)

print("控制器 K：", K)

例题2：H₂最优控制

题目描述

给定一个线性时不变系统，其状态方程和输出方程如下： [ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) ] [ y(t) = Cx(t) ] 其中，( A ) 是系统矩阵，( B ) 是输入矩阵，( C ) 是输出矩阵。要求设计一个线性反馈控制器 ( K )，使得闭环系统的干扰抑制性能达到最优。

解题步骤

  1. 确定性能指标：选择合适的性能指标，如干扰抑制性能。
  2. 求解最优控制器：通过求解 ( (A + BK)^{\mathrm{T}}(A + BK) + B^{\mathrm{T}}R^{-1}B - Q = 0 )，得到控制器 ( K )。
  3. 验证稳定性：检查闭环系统的特征值是否都在单位圆内。

代码示例

import numpy as np

# 系统矩阵
A = np.array([[0, 1], [-1, -2]])
# 输入矩阵
B = np.array([1, 0])
# 输出矩阵
C = np.array([1, 0])
# 权重矩阵
Q = np.array([[1, 0], [0, 1]])
R = np.array([[1]])

# 求解控制器
K = np.linalg.solve(A.T @ A + B.T @ R @ B, -A.T @ R @ B)

print("控制器 K：", K)

总结

通过以上两个经典例题的解析，我们可以看到最优反馈控制的设计方法。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的性能指标和控制策略。掌握这些方法，可以帮助你在考试中轻松应对相关题目。

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