微积分是数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。为了帮助读者更好地掌握微积分，本文将详细介绍一些常用的微积分公式，包括极限、导数、积分等。
一、极限公式
极限是微积分的基础，以下是一些常用的极限公式：
1. 常用极限
- (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1)
- (\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e)
- (\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x^n} = 0)（其中 (a) 为常数，(n > 0)）
2. 无穷小替换
- (\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1)
- (\lim{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{1}{2})
3. 洛必达法则
- (\lim{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} = \lim{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)})（当 (\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}) 形式为 (\frac{0}{0}) 或 (\frac{\infty}{\infty}) 时）
二、导数公式
导数是微积分的核心概念，以下是一些常用的导数公式：
1. 基本导数公式
- (©’ = 0)（其中 (c) 为常数）
- ((x^n)’ = nx^{n-1})（其中 (n) 为常数）
- ((\sin x)’ = \cos x)
- ((\cos x)’ = -\sin x)
- ((\tan x)’ = \sec^2 x)
2. 复合函数导数公式
- ((f(g(x)))’ = f’(g(x)) \cdot g’(x))
3. 链式法则
- ((f(g(x)))’ = f’(g(x)) \cdot g’(x))
三、积分公式
积分是微积分的另一个重要概念，以下是一些常用的积分公式：
1. 基本积分公式
- (\int c \, dx = cx + C)（其中 (c) 为常数）
- (\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C)（其中 (n \neq -1)）
- (\int \sin x \, dx = -\cos x + C)
- (\int \cos x \, dx = \sin x + C)
- (\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C)
2. 分部积分法
- (\int u \, dv = uv - \int v \, du)
3. 三角函数积分
- (\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C)
- (\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C)
通过以上介绍，相信读者对微积分的常用公式有了更深入的了解。在实际应用中，熟练掌握这些公式对于解决数学问题具有重要意义。