微分是微积分学中的一个基本概念，它描述了函数在某一点的局部变化率。掌握微分函数的计算公式、表格和图解对于理解函数行为、解决实际问题至关重要。以下是对微分函数计算公式、表格与图解的全面解析。
微分的基本概念
微分学的基础是导数，导数可以理解为函数在某一点处的变化率。对于函数 ( f(x) )，其导数 ( f’(x) ) 表示在 ( x ) 点处，函数值 ( f(x) ) 随 ( x ) 变化的速率。
微分函数的计算公式
一元函数的微分公式
基本函数的微分公式：
- ( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} ) （( n ) 为常数）
- ( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x )
- ( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x )
- ( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x )
- ( \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x} )
复合函数的微分法则：
- 链式法则：如果 ( y = f(u) ) 且 ( u = g(x) )，则 ( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} )
- 乘积法则：如果 ( y = uv )，则 ( \frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} )
- 商法则：如果 ( y = \frac{u}{v} )，则 ( \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} )
多元函数的微分公式
对于多元函数，除了上述一元函数的微分法则外，还需考虑偏导数和全微分。
偏导数：对于函数 ( f(x, y) )，偏导数 ( \frac{\partial f}{\partial x} ) 和 ( \frac{\partial f}{\partial y} ) 分别表示函数在 ( x ) 和 ( y ) 方向上的变化率。
全微分：如果 ( z = f(x, y) )，则 ( dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy )。
微分函数的表格
以下是一些常见函数的导数表格：
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| ( x^n ) | ( nx^{n-1} ) |
| ( \sin x ) | ( \cos x ) |
| ( \cos x ) | ( -\sin x ) |
| ( \tan x ) | ( \sec^2 x ) |
| ( \log x ) | ( \frac{1}{x} ) |
| ( e^x ) | ( e^x ) |
| ( a^x ) | ( a^x \ln a ) |
微分函数的图解
微分函数的图解通常用于直观地展示函数的变化率。以下是一些图解示例：
函数 ( f(x) = x^2 ) 的导数图：导数 ( f’(x) = 2x ) 是一条通过原点的直线，斜率随 ( x ) 的增加而增加。
函数 ( f(x) = \sin x ) 的导数图：导数 ( f’(x) = \cos x ) 是一个周期性的波形，与原函数的波形紧密相关。
通过微分函数的计算公式、表格和图解，我们可以更深入地理解函数的性质和行为。在实际应用中，掌握这些知识可以帮助我们解决各种实际问题，例如物理中的速度和加速度计算、工程中的曲线拟合等。