技巧一：夹逼定理
基本概念
夹逼定理是数列极限证明中的一个重要工具，它指出：如果存在两个数列 ({a_n}) 和 ({b_n})，使得对于所有的 (n)，都有 (a_n \leq x_n \leq bn)，并且 (\lim{n \to \infty} an = \lim{n \to \infty} bn = L)，那么 (\lim{n \to \infty} x_n = L)。
应用实例
假设我们要证明 (\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n + 2} = 1)，可以构造两个数列 ({a_n} = \frac{n^2}{n+2}) 和 ({b_n} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n+2})，显然 (a_n \leq x_n \leq bn)，并且 (\lim{n \to \infty} an = \lim{n \to \infty} bn = 1)，因此 (\lim{n \to \infty} x_n = 1)。
技巧二：单调有界准则
基本概念
单调有界准则指出：如果一个数列 ({x_n}) 是单调的（单调递增或单调递减），并且有界，那么这个数列一定收敛。
应用实例
考虑数列 ({xn} = 1 - \frac{1}{n})，这个数列是单调递减的，并且有界（上界为1，下界为0），因此根据单调有界准则，(\lim{n \to \infty} x_n) 存在。
技巧三：夹逼定理的推广
基本概念
夹逼定理的推广形式是：如果存在两个数列 ({a_n}) 和 ({b_n})，使得对于所有的 (n)，都有 (a_n \leq x_n \leq bn)，并且 (\lim{n \to \infty} an = \lim{n \to \infty} bn = L)，那么 (\lim{n \to \infty} x_n) 存在，并且等于 (L)。
应用实例
证明 (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1)，可以构造 ({a_n} = 1) 和 ({b_n} = n)，显然 (a_n \leq x_n \leq bn)，并且 (\lim{n \to \infty} an = \lim{n \to \infty} bn = 1)，因此 (\lim{n \to \infty} x_n = 1)。
技巧四：洛必达法则
基本概念
洛必达法则适用于“0/0”型或“∞/∞”型的极限问题，它指出：如果函数 (f(x)) 和 (g(x)) 在 (x = a) 的某个去心邻域内可导，且 (f(a) = g(a) = 0) 或 (f(a) = g(a) = \infty)，并且 (\lim{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}) 存在，那么 (\lim{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}) 也存在，并且等于 (\lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)})。
应用实例
证明 (\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1)，可以应用洛必达法则，因为 (\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x) 和 (\frac{d}{dx}(x) = 1)，所以 (\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1)。
技巧五：无穷小替换
基本概念
无穷小替换是一种简化极限计算的方法，它指出：如果 (\lim{x \to a} f(x) = 0)，那么 (\lim{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim{x \to a} \frac{1}{g(x)})，只要 (\lim{x \to a} g(x) \neq 0)。
应用实例
证明 (\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = 1)，可以应用无穷小替换，因为 (\lim{x \to 0} \sin x = 0)，所以 (\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2} = \lim{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty)，这显然是错误的，因此需要重新审视这个问题。正确的做法是使用洛必达法则或夹逼定理。