引言
在数学学习中，解方程是一项基本技能。其中，二次方程是解方程中的重要一环。二次方程的一般形式为 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。对于二次方程，判别式是一个非常重要的概念，它可以帮助我们判断方程的根的性质。本文将详细介绍判别式的概念、计算方法以及在实际问题中的应用，并通过在线测试题的形式，帮助读者巩固所学知识。
一、判别式的概念
判别式是二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 中 \(b^2 - 4ac\) 的值。根据判别式的值，我们可以判断方程的根的性质：
- 当 \(b^2 - 4ac > 0\) 时，方程有两个不相等的实数根；
- 当 \(b^2 - 4ac = 0\) 时，方程有两个相等的实数根；
- 当 \(b^2 - 4ac < 0\) 时，方程没有实数根。
二、判别式的计算方法
判别式的计算非常简单，只需要将 \(b^2 - 4ac\) 的值代入即可。以下是一个计算判别式的例子：
例1：计算二次方程 \(2x^2 - 4x + 2 = 0\) 的判别式。
解答： $\( \begin{align*} \text{判别式} &= b^2 - 4ac \\ &= (-4)^2 - 4 \times 2 \times 2 \\ &= 16 - 16 \\ &= 0 \end{align*} \)$
因此，该方程有两个相等的实数根。
三、判别式在实际问题中的应用
判别式在解决实际问题中具有重要意义。以下是一个应用判别式的例子：
例2：某工厂生产一批产品，每件产品的成本为 \(10\) 元，售价为 \(15\) 元。若每天生产 \(x\) 件产品，则利润为 \(5x\) 元。若要使利润达到 \(100\) 元，求每天至少需要生产多少件产品。
解答： 设每天生产 \(x\) 件产品，则利润为 \(5x\) 元。根据题意，要使利润达到 \(100\) 元，即 \(5x = 100\)。将方程转化为二次方程形式，得：
\[ \begin{align*} 5x - 100 &= 0 \\ 5x &= 100 \\ x^2 - 20x + 100 &= 0 \end{align*} \]
计算判别式：
\[ \begin{align*} \text{判别式} &= b^2 - 4ac \\ &= (-20)^2 - 4 \times 1 \times 100 \\ &= 400 - 400 \\ &= 0 \end{align*} \]
由于判别式等于 \(0\)，说明方程有两个相等的实数根。解得 \(x = 10\)。因此，每天至少需要生产 \(10\) 件产品。
四、在线测试题
为了帮助读者巩固所学知识，以下提供一些在线测试题：
- 计算二次方程 \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) 的判别式。
- 某商品原价为 \(200\) 元，现价打 \(8\) 折，求现价。
- 某工厂生产一批产品，每件产品的成本为 \(5\) 元，售价为 \(10\) 元。若每天生产 \(x\) 件产品，则利润为 \(5x\) 元。若要使利润达到 \(300\) 元，求每天至少需要生产多少件产品。
请通过在线测试题检验自己的学习成果，并在遇到困难时查阅本文内容。祝你学习愉快！