柯西定理，又称为柯西中值定理，是微积分中的一个重要定理。它揭示了连续函数在一定区间上的性质，对于解决许多数学问题都具有重要意义。本文将带你从经典案例入手，逐步深入理解柯西定理，并通过实战演练让你轻松掌握这一数学工具。
柯西定理简介
柯西定理表述如下：设函数( f(x) )和( g(x) )在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且( g’(x) \neq 0 )。则存在( \xi \in (a, b) )，使得：
[ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} ]
这个定理告诉我们，在满足一定条件下，两个连续可导函数的导数之间存在某种关系。
经典案例解析
案例1：证明( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )
证明：考虑函数( f(x) = \sin x )和( g(x) = x )，它们在闭区间[0, 0]上连续，在开区间(0, 0)内可导。且( g’(x) = 1 \neq 0 )。根据柯西定理，存在( \xi \in (0, 0) )，使得：
[ \frac{\sin \xi}{\xi} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} = \frac{\cos \xi}{1} ]
由于( \lim_{x \to 0} \cos x = 1 )，因此：
[ \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{\sin \xi}{\xi} = 1 ]
案例2：证明( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 )
证明：考虑函数( f(x) = e^x )和( g(x) = x )，它们在闭区间[0, 0]上连续，在开区间(0, 0)内可导。且( g’(x) = 1 \neq 0 )。根据柯西定理，存在( \xi \in (0, 0) )，使得：
[ \frac{e^\xi - 1}{\xi} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} = \frac{e^\xi}{1} ]
由于( \lim_{x \to 0} e^x = 1 )，因此：
[ \lim{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim{x \to 0} \frac{e^\xi - 1}{\xi} = 1 ]
实战演练
演练1：求函数( f(x) = x^2 - 3x + 2 )在区间[1, 4]上的最大值和最小值
解：首先求出函数的导数( f’(x) = 2x - 3 )。令( f’(x) = 0 )，得到( x = \frac{3}{2} )。在区间[1, 4]上，( f(x) )在( x = \frac{3}{2} )处取得极值。计算( f(1) = -2 )，( f(\frac{3}{2}) = -\frac{1}{4} )，( f(4) = 10 )。因此，( f(x) )在区间[1, 4]上的最大值为10，最小值为-2。
演练2：求函数( f(x) = \ln x )在区间[1, e^2]上的平均变化率
解：首先求出函数的导数( f’(x) = \frac{1}{x} )。根据柯西定理，存在( \xi \in (1, e^2) )，使得：
[ \frac{f(e^2) - f(1)}{e^2 - 1} = \frac{f’(\xi)}{1} = \frac{1}{\xi} ]
计算( f(e^2) = 2 )，( f(1) = 0 )，因此：
[ \frac{2 - 0}{e^2 - 1} = \frac{1}{\xi} ]
解得( \xi = \frac{e^2 - 1}{2} )。因此，函数( f(x) = \ln x )在区间[1, e^2]上的平均变化率为( \frac{1}{\xi} = \frac{2}{e^2 - 1} )。
通过以上经典案例和实战演练，相信你已经对柯西定理有了更深入的理解。在今后的学习中，不断运用柯西定理解决实际问题，你将收获更多。