概率论是数学的一个分支，主要研究随机现象的规律性。在概率论的第一章中，我们会接触到概率的基本概念和性质。以下是对第一章核心习题的详细解析，旨在帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
1. 随机实验与样本空间
概念解析： 随机实验是指进行一次试验，可能产生多种不同的结果。样本空间是指随机实验所有可能结果的集合。
习题解析：
- 例题1： 抛掷一枚公平的硬币，样本空间是什么？
- 解析： 样本空间为 {正面，反面}。
2. 事件与事件的关系
概念解析： 事件是样本空间的一个子集，表示随机实验的一个结果。事件间的关系包括包含、相等、互斥、对立等。
习题解析：
- 例题2： 抛掷两枚公平的硬币，事件A表示“至少一枚硬币为正面”，事件B表示“两枚硬币都是正面”。判断事件A和B的关系。
- 解析： 事件A包含事件B，因为事件B发生时，事件A也一定发生。
3. 概率的定义与性质
概念解析： 概率是衡量事件发生可能性大小的一个数值，其取值范围在0到1之间。
习题解析：
- 例题3： 抛掷一枚公平的六面骰子，求骰子点数为6的概率。
- 解析： 概率为 1/6。
4. 条件概率与独立性
概念解析： 条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。独立性是指两个事件的发生互不影响。
习题解析：
- 例题4： 抛掷一枚公平的硬币，已知第一枚硬币为正面，求第二枚硬币也为正面的概率。
- 解析： 由于硬币是公平的，所以第一枚硬币为正面的条件下，第二枚硬币为正面的概率仍然是 1/2。
5. 全概率公式与贝叶斯公式
概念解析： 全概率公式是指在多个互斥事件中，某个事件发生的概率等于它发生的所有互斥事件的概率之和。贝叶斯公式是条件概率的一种应用，用于根据已知条件推断未知事件的可能性。
习题解析：
- 例题5： 一批产品中有90%合格，10%不合格。从该批产品中随机抽取一个产品，已知该产品合格，求它来自合格产品的概率。
- 解析： 使用贝叶斯公式，可以得到概率为 0.9。
通过以上对概率论第一章核心习题的解析，相信读者已经对概率论的基本概念和性质有了更深入的理解。在学习和应用概率论的过程中，要注意积累经验，不断总结，提高解题能力。