高等数学是大学理工科学生必修的一门基础课程，它涉及了从高中数学到大学数学的过渡，以及更深层次的数学理论和方法。以下是对高中到大学必知的一些高等数学公式与定理的盘点，希望对正在学习或即将学习高等数学的你有所帮助。
一、极限与连续
1. 极限的定义
[ \lim_{{x \to a}} f(x) = L ] 当自变量 ( x ) 趋近于 ( a ) 时，函数 ( f(x) ) 的值趋近于 ( L )。
2. 极限的性质
- 极限存在性：如果 ( \lim_{{x \to a}} f(x) ) 存在，则 ( f(x) ) 在 ( x ) 趋近于 ( a ) 时，可以无限接近 ( L )。
- 极限的可加性：( \lim{{x \to a}} [f(x) \pm g(x)] = \lim{{x \to a}} f(x) \pm \lim_{{x \to a}} g(x) )。
- 极限的乘除性：( \lim{{x \to a}} [f(x) \cdot g(x)] = \lim{{x \to a}} f(x) \cdot \lim{{x \to a}} g(x) )，前提是 ( \lim{{x \to a}} g(x) \neq 0 )。
3. 连续的定义
如果函数 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处的极限存在，并且 ( f(a) ) 也存在，那么称 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处连续。
二、导数与微分
1. 导数的定义
[ f’(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ] 导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的性质
- 可导性：如果函数在某一点可导，则该点处连续。
- 导数的线性：( (af(x) + bg(x))’ = af’(x) + bg’(x) )。
- 链式法则：如果 ( y = f(u) ) 且 ( u = g(x) )，则 ( y’ = f’(u) \cdot g’(x) )。
3. 微分的定义
[ dy = f’(x) \cdot dx ] 微分表示函数在某一点的局部线性逼近。
三、积分
1. 定积分的定义
[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx ] 定积分表示函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上的累积变化量。
2. 积分的性质
- 可加性：( \int{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int{a}^{b} f(x) \, dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \, dx )。
- 线性：( \int{a}^{b} [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int{a}^{b} f(x) \, dx + b \int_{a}^{b} g(x) \, dx )。
3. 不定积分的定义
[ \int f(x) \, dx ] 不定积分表示函数 ( f(x) ) 的原函数。
四、级数
1. 按项级数
[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n ] 按项级数是无穷多个项的代数和。
2. 按项级数的收敛性
- 收敛：如果级数 (\sum_{n=1}^{\infty} a_n ) 的部分和序列 ({s_n}) 收敛，则该级数收敛。
- 发散：如果级数 (\sum_{n=1}^{\infty} a_n ) 的部分和序列 ({s_n}) 发散，则该级数发散。
3. 常见级数
- 等差级数：( \sum_{n=1}^{\infty} (a_1 + (n-1)d) )
- 等比级数：( \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} )
五、线性代数
1. 向量空间
向量空间是由向量组成的集合，满足向量加法和标量乘法。
2. 线性方程组
线性方程组可以用矩阵表示，并使用高斯消元法求解。
3. 特征值与特征向量
特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。
六、常微分方程
1. 常微分方程的定义
常微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
2. 常微分方程的解法
- 分离变量法
- 积分因子法
- 常数变易法
七、概率论与数理统计
1. 概率的基本概念
- 样本空间：所有可能结果的集合。
- 事件：样本空间的一个子集。
- 概率：事件发生的可能性。
2. 概率论的基本定理
- 加法公式：( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) )。
- 乘法公式：( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) )。
3. 数理统计的基本概念
- 总体：研究对象的全体。
- 样本：从总体中抽取的一部分。
- 参数：描述总体特征的量。
以上是高中到大学必知的一些高等数学公式与定理的盘点，希望对你有所帮助。在学习过程中，要注重理解公式和定理的内涵，掌握其应用方法，才能更好地应对各种数学问题。