学习正弦函数时总记不住公式，通过三角形边长比例关系逐步推导正弦定理和和角公式，让初学者轻松掌握数学方法

从一棵树说起

你小时候有没有这样的经历：站在操场上，抬头看远处教学楼的高度，心里暗自好奇——这楼到底有多高？你量不了，梯子也没有，但聪明的你已经想出了办法。

你从教学楼底部走到某个位置，量一下这段距离，再抬头看楼顶的角度，就能算出楼的高度。这个办法听起来很玄，但其实背后就藏着正弦函数的秘密。

正弦函数不是黑板上冷冰冰的 $\sin$ 符号，它是你和世界之间的一座桥梁。今天，我们就用一棵树、一栋楼，一步步揭开正弦函数的神秘面纱。

第一章：先把”正弦”从神坛上请下来

1.1 直角三角形里最朴素的比例

想象你手里有一块直角三角形的小木板。

        /|
       / |
      /  |
     /   |
    / θ   |
   /______|

这个三角形有三个角：一个直角（90°），一个你标记为 $\theta$ 的角，剩下的那个角我们暂时不管。

现在，请你做一件特别简单的事：

看看角 $\theta$ 对面的那条边（我们叫它”对边”），和斜边（直角对的那条最长的边）之间的比例。

不管这块木板是大是小，只要你量一量，你会发现：

对边 ÷ 斜边 = 一个固定的数

这个”固定的数”，就是 $\sin\theta$，读作”正弦 theta”。

1.2 为什么是”固定”的？

你可能会问：木板大了，对边和斜边都变长了，比例怎么会不变呢？

这里有一个超级重要的几何原理，叫做相似三角形。

想象你有两块直角三角形木板：

小木板：           大地板：
      /|                 /|
     / |               /  |
    / θ| (θ=30°)      / θ|
   /___|             /____|
  对边=1           对边=2
  斜边=2           斜边=4

小木板：$\sin 30° = \frac{1}{2} = 0.5$

大地板：$\sin 30° = \frac{2}{4} = 0.5$

比例完全一样！ 不管三角形放大多少倍，只要角度 $\theta$ 不变，对边和斜边的比例就永远不变。

这就是正弦函数的本质：它是一个只和角度有关、和三角形大小无关的比例。

第二章：正弦函数的”身份证”——单位圆

2.1 为什么需要单位圆？

你可能会想：既然直角三角形就够了，干嘛还要搞个单位圆？

因为直角三角形只能处理 $0°$ 到 $90°$ 之间的角。但现实世界中，角度可能更大、更小，甚至超过 $360°$。这时候，单位圆就派上用场了。

2.2 什么是单位圆？

单位圆就是一个圆心在原点 $(0, 0)$、半径为 $1$ 的圆。

        y
        |
    1   |     ● (cosθ, sinθ)
        |    /
    0.5 |   / θ
        |  /
   ------+------ x
        | /
   -0.5 |/
        |
   -1   |

在单位圆上，任意一个角度 $\theta$ 对应的点，它的纵坐标就是 $\sin\theta$，横坐标就是 $\cos\theta$。

2.3 这和直角三角形有什么关系？

如果你从原点画一条射线，与 $x$ 轴正方向形成角度 $\theta$，这条射线与单位圆相交于点 $(x, y)$。

从点 $(x, y)$ 向 $x$ 轴作垂线，你就得到一个直角三角形：

斜边 = 1（因为是单位圆）
对边 = $y$
邻边 = $x$

根据正弦的定义： $$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{1} = y$$

所以，单位圆上的 $y$ 坐标就是 $\sin\theta$！

这个发现太重要了，它把正弦函数从”三角形的专用工具”变成了”圆的函数”，意味着它可以处理任意角度的问题了。

第三章：正弦定理——从”一个三角形”到”所有三角形”

3.1 问题的起源

现在我们来思考一个有意思的问题：

如果一个三角形不是直角三角形，我们还能用正弦函数吗？

比如，给你一个任意三角形 $ABC$，其中 $AB = 5$，$AC = 7$，角 $A = 60°$。你能求出角 $B$ 或角 $C$ 吗？

这时候，正弦定理就派上用场了。

3.2 推导正弦定理——从”高度”入手

想象一个任意三角形 $ABC$，其中：

$a$ 是角 $A$ 的对边（即 $BC$）
$b$ 是角 $B$ 的对边（即 $AC$）
$c$ 是角 $C$ 的对边（即 $AB$）

        A
       /|\
      / | \
     /  |  \
    /   |   \
   B----+----C
        h

从顶点 $A$ 向对边 $BC$ 作垂线，垂足为 $D$，垂线的长度为 $h$。

现在看两个直角三角形：$\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$。

在 $\triangle ABD$ 中： $$\sin B = \frac{h}{c} \quad \Rightarrow \quad h = c \cdot \sin B$$

在 $\triangle ACD$ 中： $$\sin C = \frac{h}{b} \quad \Rightarrow \quad h = b \cdot \sin C$$

因为两个式子都等于 $h$，所以： $$c \cdot \sin B = b \cdot \sin C$$

两边同时除以 $\sin B \cdot \sin C$： $$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$$

同理，如果我们从 $B$ 向 $AC$ 作垂线，可以得到： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$

合并两个结果，就得到了正弦定理：

\[\boxed{\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}}\]

3.3 正弦定理的直观理解

你可能会问：这个公式到底在说什么？

用大白话说：

三角形中，每条边的长度和它所对角度的正弦值的比值，是一个固定的常数。

或者更直观地说：

边越长，对角越大；边越短，对角越小。而且它们的比例是固定的。

3.4 实战例题

例题1：已知三角形的两边和一角，求另一边

已知：在 $\triangle ABC$ 中，$a = 8$，$b = 10$，角 $A = 30°$，求角 $B$。

根据正弦定理： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

代入已知值： $$\frac{8}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin B}$$

因为 $\sin 30° = 0.5$，所以： $$\frac{8}{0.5} = \frac{10}{\sin B}$$

\[16 = \frac{10}{\sin B}\]

\[\sin B = \frac{10}{16} = 0.625\]

\[B = \arcsin(0.625) \approx 38.68°\]

答案：角 $B$ 约为 $38.68°$。

例题2：求三角形的面积（一种新的面积公式）

传统面积公式：$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$

但有时候我们不知道高，只知道两边和夹角。这时候可以用：

\[S = \frac{1}{2}ab\sin C\]

推导：

\[S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times b \times h\]

而 $h = a \cdot \sin C$，所以：

\[S = \frac{1}{2} \times b \times a \times \sin C = \frac{1}{2}ab\sin C\]

例题： 已知 $a = 5$，$b = 7$，角 $C = 60°$，求面积。

\[S = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \frac{35}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15.16\]

3.5 正弦定理的另一种形式

有时候我们会用到正弦定理的变形：

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

其中 $R$ 是三角形外接圆的半径。

为什么是 $2R$？

想象三角形的外接圆，圆心为 $O$，半径为 $R$。从圆心 $O$ 向边 $a$ 作垂线，根据圆周角定理，可以证明 $\frac{a}{\sin A} = 2R$。

这个结论非常有用，特别是在处理与外接圆相关的问题时。

第四章：和角公式——从”两个角相加”开始

4.1 问题的提出

假设你已经知道 $\sin 30° = 0.5$ 和 $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$。

那么 $\sin 75°$ 等于多少？

你可能第一反应是：$\sin 75° = \sin 30° + \sin 45° = 0.5 + 0.707 = 1.207$？

不对！ 正弦函数不满足加法分配律。$\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$。

那么 $\sin 75°$ 到底该怎么算？这就是和角公式要解决的问题。

4.2 和角公式是什么？

和角公式有两个，一个是正弦的和角公式，一个是余弦的和角公式：

\[\boxed{\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B}\]

\[\boxed{\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B}\]

这两个公式看起来有点复杂，但它们是所有三角函数公式的基础。一旦你记住了它们，很多复杂的三角函数问题都能迎刃而解。

4.3 推导正弦的和角公式

方法一：用几何方法推导（欧几里得式）

这是最经典的推导方法，虽然稍长，但非常直观。

步骤1：画一个单位圆

        y
        |
    1   |     P2(cos(A+B), sin(A+B))
        |    /
        |   / 
    0.5 |  / θ = A+B
        | /
   ------+------ x
        | \
   -0.5 |  \ 
        |   \
   -1   |     P1

步骤2：在圆上取几个关键点

我们在单位圆上取四个点：

$O = (0, 0)$：圆心
$P_1 = (\cos B, \sin B)$：角度 $B$ 对应的点
$P_2 = (\cos(A+B), \sin(A+B))$：角度 $A+B$ 对应的点
$P_3 = (\cos A, -\sin A)$：角度 $-A$ 对应的点

步骤3：利用距离相等

因为 $P_1$ 和 $P_2$ 之间的弧长等于 $O$ 和 $P_3$ 之间的弧长（都是角度 $A$），所以 $P_1P_2 = OP_3$。

根据距离公式： $$P_1P_2^2 = (\cos(A+B) - \cos B)^2 + (\sin(A+B) - \sin B)^2$$

\[OP_3^2 = (\cos A - 0)^2 + (-\sin A - 0)^2 = \cos^2 A + \sin^2 A = 1\]

因为 $P_1P_2 = OP_3$，所以 $P_1P_2^2 = 1$。

展开并化简（这里过程较长，直接给出结果）：

\[\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\]

\[\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\]

方法二：用复数推导（欧拉公式法）

这个方法更简洁，如果你学过复数，会更容易理解。

根据欧拉公式： $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

那么： $$e^{i(A+B)} = \cos(A+B) + i\sin(A+B)$$

同时： $$e^{i(A+B)} = e^{iA} \cdot e^{iB} = (\cos A + i\sin A)(\cos B + i\sin B)$$

展开右边： $$= \cos A \cos B + i\cos A \sin B + i\sin A \cos B + i^2\sin A \sin B$$

\[= (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + i(\sin A \cos B + \cos A \sin B)\]

比较实部和虚部： $$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$

\[\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\]

证毕！

4.4 用和角公式验证 $\sin 75°$

回到我们一开始的问题：$\sin 75°$ 等于多少？

因为 $75° = 30° + 45°$，所以：

\[\sin 75° = \sin(30° + 45°) = \sin 30° \cos 45° + \cos 30° \sin 45°\]

\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \approx 0.9659\]

验证： 用计算器算 $\sin 75°$，结果确实是约 $0.9659$。

你看，和角公式确实很有用！

4.5 推导过程详解：为什么 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$？

为了让你彻底理解，我们来一步步详细推导。

设定：

考虑一个直角三角形 $ABC$，其中角 $C = 90°$，角 $A = \alpha$，角 $B = \beta$。

我们知道 $\alpha + \beta = 90°$，但这不是我们要推导的内容。

更一般的情况：

考虑两个角度 $A$ 和 $B$，我们想知道 $\sin(A+B)$ 是什么。

几何推导（详细版）：

画一个单位圆，圆心为 $O$。
在圆上取点 $P$，使得 $\angle POX = A + B$。
从点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $M$。
那么 $PM = \sin(A+B)$。

现在，我们从点 $P$ 向另一条射线（角度为 $A$）作垂线，垂足为 $Q$。

        y
        |
        |       P
        |      /|
        |     / |
        |    /  |
        |   /   |
        |  / Q  |
        | /     |
   ------+------+------ x
        O       M

在 $\triangle OPQ$ 中：

$OP = 1$
$\angle POQ = B$
$PQ = \sin B$
$OQ = \cos B$

在 $\triangle PQM$ 中：

$\angle QPM = A$（因为 $PQ$ 垂直于 $OQ$，$PM$ 垂直于 $OM$）
$PM = PQ \cos A + OQ \sin A = \sin B \cos A + \cos B \sin A$

所以： $$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

这就是正弦和角公式！

4.6 差角公式

和角公式推导出来后，差角公式就是它的”兄弟”。

把 $B$ 换成 $-B$：

\[\sin(A - B) = \sin A \cos(-B) + \cos A \sin(-B)\]

因为 $\cos(-B) = \cos B$，$\sin(-B) = -\sin B$，所以：

\[\boxed{\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B}\]

同理： $$\boxed{\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B}$$

第五章：特殊角的三角函数值——一张表搞定

5.1 为什么要记这些？

掌握了和角公式后，我们就可以用已知角度的三角函数值，计算出其他角度的三角函数值。

比如，我们知道 $\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

那么 $\sin 15°$、$\sin 75°$ 等角度就可以用和角或差角公式计算出来。

5.2 特殊角三角函数值表

角度	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在

5.3 用和角公式推导其他特殊角

推导 $\sin 15°$：

\[\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30°\]

\[= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]

推导 $\cos 15°$：

\[\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°\]

\[= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

第六章：和角公式的实际应用

6.1 证明三角恒等式

例题：证明 $\sin 2A = 2\sin A \cos A$

根据和角公式： $$\sin 2A = \sin(A + A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A$$

证毕！

这个公式叫做二倍角公式，是非常常用的公式。

6.2 求 $\sin 105°$

\[\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°\]

\[= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\]

6.3 证明 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

虽然这个公式通常用勾股定理证明，但也可以用和角公式验证。

当 $A = 0°$，$B = 90°$ 时： $$\sin 90° = \sin(0° + 90°) = \sin 0° \cos 90° + \cos 0° \sin 90° = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$$

\[\cos 90° = \cos(0° + 90°) = \cos 0° \cos 90° - \sin 0° \sin 90° = 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 0\]

验证通过。

第七章：用 Python 验证你的计算

为了让你更有信心，我们用 Python 代码来验证我们的推导。

import math

# 定义角度（转换为弧度）
def deg_to_rad(deg):
    return deg * math.pi / 180

# 测试和角公式
def test_sum_formula():
    # 测试 sin(A+B)
    A = 30
    B = 45
    
    # 左边：sin(A+B)
    left = math.sin(deg_to_rad(A + B))
    
    # 右边：sin A cos B + cos A sin B
    right = (math.sin(deg_to_rad(A)) * math.cos(deg_to_rad(B)) +
             math.cos(deg_to_rad(A)) * math.sin(deg_to_rad(B)))
    
    print(f"sin({A}° + {B}°) = {left:.10f}")
    print(f"sin{A}°cos{B}° + cos{A}°sin{B}° = {right:.10f}")
    print(f"差值：{abs(left - right):.10e}")
    print()
    
    # 测试 cos(A+B)
    left_cos = math.cos(deg_to_rad(A + B))
    right_cos = (math.cos(deg_to_rad(A)) * math.cos(deg_to_rad(B)) -
                 math.sin(deg_to_rad(A)) * math.sin(deg_to_rad(B)))
    
    print(f"cos({A}° + {B}°) = {left_cos:.10f}")
    print(f"cos{A}°cos{B}° - sin{A}°sin{B}° = {right_cos:.10f}")
    print(f"差值：{abs(left_cos - right_cos):.10e}")
    print()

# 测试二倍角公式
def test_double_angle():
    A = 30
    
    # 左边：sin(2A)
    left = math.sin(deg_to_rad(2 * A))
    
    # 右边：2 sin A cos A
    right = 2 * math.sin(deg_to_rad(A)) * math.cos(deg_to_rad(A))
    
    print(f"sin(2×{A}°) = {left:.10f}")
    print(f"2sin{A}°cos{A}° = {right:.10f}")
    print(f"差值：{abs(left - right):.10e}")
    print()

# 测试差角公式
def test_difference_formula():
    A = 45
    B = 30
    
    # 测试 sin(A-B)
    left = math.sin(deg_to_rad(A - B))
    right = (math.sin(deg_to_rad(A)) * math.cos(deg_to_rad(B)) -
             math.cos(deg_to_rad(A)) * math.sin(deg_to_rad(B)))
    
    print(f"sin({A}° - {B}°) = {left:.10f}")
    print(f"sin{A}°cos{B}° - cos{A}°sin{B}° = {right:.10f}")
    print(f"差值：{abs(left - right):.10e}")
    print()

# 运行测试
if __name__ == "__main__":
    print("=== 测试和角公式 ===")
    test_sum_formula()
    
    print("=== 测试二倍角公式 ===")
    test_double_angle()
    
    print("=== 测试差角公式 ===")
    test_difference_formula()

运行上述代码，你会看到所有公式的验证结果，差值都是 $10^{-16}$ 级别，几乎为零。这说明我们的推导是完全正确的！

第八章：总结与记忆技巧

8.1 核心公式回顾

我们今天学习了以下核心公式：

正弦定理： $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
正弦和角公式： $$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$
余弦和角公式： $$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$
二倍角公式： $$\sin 2A = 2\sin A \cos A$$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$$

8.2 记忆技巧

和角公式的记忆：

$\sin(A+B)$ 的公式中，每一项都是”正弦乘余弦”，而且中间是”+“号。
$\cos(A+B)$ 的公式中，第一项是”余弦乘余弦”，第二项是”正弦乘正弦”，中间是”-“号。

简单的记忆口诀：

正弦和角：正弦乘余弦，加余弦乘正弦。余弦和角：余弦乘余弦，减正弦乘正弦。

正弦定理的记忆：

边除以对角的正弦，三个比值都相等。

8.3 常见错误

错误：$\sin(A+B) = \sin A + \sin B$
- 正确：$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- 原因：正弦函数不满足加法分配律。
错误：$\sin 2A = 2\sin A$
- 正确：$\sin 2A = 2\sin A \cos A$
- 原因：二倍角公式中还有一个 $\cos A$。
错误：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ 中的 $a$ 和 $A$ 不对应
- 正确：$a$ 是角 $A$ 的对边，$b$ 是角 $B$ 的对边。
- 原因：正弦定理要求边和对角对应。

8.4 实际应用

正弦函数和正弦定理在我们的日常生活中有很多应用：

测量高度和距离：比如测量楼高、山高、河宽等。
导航和定位：GPS 系统利用三角测量原理确定位置。
建筑和工程：计算角度、力的大小和方向。
物理学：分析波的传播、力的分解等。
计算机图形学：实现旋转、变换等操作。

第九章：练习题

9.1 基础题

已知 $\sin A = \frac{3}{5}$，$\cos A = \frac{4}{5}$，求 $\sin 2A$。
已知 $\sin A = \frac{5}{13}$，$\cos B = \frac{3}{5}$，求 $\sin(A+B)$。
在 $\triangle ABC$ 中，$a = 6$，$b = 8$，$A = 30°$，求 $B$。

9.2 提高题

证明：$\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$。
已知 $\tan A = 2$，$\tan B = 3$，求 $\sin(A+B)$。
在 $\triangle ABC$ 中，$a = 10$，$b = 12$，$c = 14$，求角 $A$、$B$、$C$。

9.3 答案

$\sin 2A = 2\sin A \cos A = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{5}{13} \times \frac{3}{5} + \frac{12}{13} \times \frac{4}{5} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}$
根据正弦定理：$\frac{6}{\sin 30°} = \frac{8}{\sin B}$，解得 $\sin B = \frac{2}{3}$，$B \approx 41.81°$

第十章：结语

今天，我们从一棵树、一栋楼出发，一步步推导出了正弦定理和和角公式。这个过程告诉我们：

数学不是死记硬背：每一个公式背后都有深刻的几何意义和逻辑推导。
公式是可以自己”发明”的：只要你理解了背后的原理，你不需要死记硬背。
练习是最好的老师：通过大量的练习，你会逐渐掌握这些公式的应用。

希望你在学习正弦函数的过程中，能够感受到数学的乐趣和美感。记住，你不需要一下子掌握所有东西，一步一步来，你会慢慢理解的。

如果你还有任何问题，欢迎随时提问。数学的世界里，没有笨问题，只有好奇的心。

延伸阅读：

余弦定理：$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \cos C$
正切和角公式：$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
半角公式：$\sin \frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$

祝你学习愉快！

角度	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)
\(\sin\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\tan\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	不存在