开环传递函数是自动控制理论中的一个重要概念，它描述了系统输入与输出之间的关系。掌握开环传递函数对于理解系统的动态特性和设计控制系统至关重要。以下是一些例题，帮助你更好地学习和理解开环传递函数。
例题一：求开环传递函数
题目描述： 已知系统的输入为 ( r(t) = 2e^{-t} )，输出为 ( y(t) = 5e^{-2t} )，求系统的开环传递函数 ( G(s) )。
解题步骤：
- 确定系统响应： 输入 ( r(t) ) 和输出 ( y(t) ) 都是以指数函数形式表示的。
- 建立微分方程： 根据系统响应，可以建立如下微分方程： [ y” + 4y’ + 5y = 2e^{-t} ]
- 求解微分方程： 对微分方程求解，得到系统的传递函数 ( G(s) )。 [ G(s) = \frac{2}{(s+2)^2 + 5} ]
例题二：开环传递函数的极点和零点
题目描述： 已知系统的开环传递函数为 ( G(s) = \frac{K}{(s+1)(s^2 + 2s + 2)} )，求系统的极点和零点。
解题步骤：
- 确定极点： 极点对应于传递函数的分子为零的根。 [ (s+1)(s^2 + 2s + 2) = 0 ] 解得极点为 ( s = -1 ) 和 ( s = -1 \pm i )。
- 确定零点： 零点对应于传递函数的分母为零的根。 [ (s+1)(s^2 + 2s + 2) = 0 ] 解得零点为 ( s = -1 )。
例题三：开环传递函数的稳定性分析
题目描述： 已知系统的开环传递函数为 ( G(s) = \frac{K}{(s+1)(s^2 + 2s + 2)} )，判断系统的稳定性。
解题步骤：
- 计算特征方程： 特征方程为 ( (s+1)(s^2 + 2s + 2) = 0 )。
- 判断特征根： 由于特征根具有负实部，因此系统是稳定的。
例题四：开环传递函数的频率响应
题目描述： 已知系统的开环传递函数为 ( G(s) = \frac{K}{(s+1)(s^2 + 2s + 2)} )，求系统的频率响应。
解题步骤：
- 求取复频域表达式： 将传递函数转换为复频域表达式。 [ G(j\omega) = \frac{K}{(j\omega+1)((j\omega)^2 + 2j\omega + 2)} ]
- 计算幅频特性： 幅频特性为 ( |G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(\omega^2 + 1)^2 + 4\omega^2}} )。
- 计算相频特性： 相频特性为 ( \angle G(j\omega) = \arctan\left(\frac{2\omega}{\omega^2 + 1 + 4\omega^2}\right) )。
通过以上例题，你可以更好地理解和掌握开环传递函数的相关知识。在学习过程中，要注重理论与实践相结合，不断练习和总结，以提高自己的实际应用能力。