一、基础知识巩固
1. 数的运算
题目：计算下列各题。
（1）( 123 + 456 )
（2）( 789 - 321 )
（3）( 456 \times 2 )
（4）( 123 \div 3 )
解析：
（1）( 123 + 456 = 579 )
（2）( 789 - 321 = 468 )
（3）( 456 \times 2 = 912 )
（4）( 123 \div 3 = 41 )
2. 位置与方向
题目：小明从家出发，向北走了200米，然后向东走了100米，最后向南走了150米。请问小明现在距离家有多远？
解析：
小明向北走了200米，再向东走了100米，此时形成一个直角三角形，其中一条直角边为200米，另一条直角边为100米。根据勾股定理，斜边长度为：
[ \sqrt{200^2 + 100^2} = \sqrt{40000 + 10000} = \sqrt{50000} = 100\sqrt{5} ]
小明再向南走了150米，所以现在距离家的距离为：
[ 100\sqrt{5} - 150 ]
二、应用题
1. 工程问题
题目：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲队先做了3天后，乙队加入，两队合作，多少天后完成这项工程？
解析：
甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。甲队每天完成工程的 ( \frac{1}{10} )，乙队每天完成工程的 ( \frac{1}{15} )。
甲队先做了3天，完成了 ( 3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10} ) 的工程。剩余 ( 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} ) 的工程。
甲乙两队合作，每天完成 ( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} ) 的工程。
所以，完成剩余 ( \frac{7}{10} ) 的工程需要：
[ \frac{7}{10} \div \frac{1}{6} = \frac{7}{10} \times 6 = 4.2 ]
因此，甲乙两队合作需要4.2天完成这项工程。
2. 利润问题
题目：小明以每千克10元的价格购买了5千克苹果，然后以每千克15元的价格卖出。请问小明在这笔买卖中获得了多少利润？
解析：
小明购买苹果的总价为 ( 10 \times 5 = 50 ) 元，卖出苹果的总价为 ( 15 \times 5 = 75 ) 元。
所以，小明在这笔买卖中获得的利润为 ( 75 - 50 = 25 ) 元。
三、拓展题
1. 几何问题
题目：一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米。请问这个长方形的周长和面积分别是多少？
解析：
长方形的周长为 ( 2 \times (长 + 宽) = 2 \times (8 + 5) = 26 ) 厘米。
长方形的面积为 ( 长 \times 宽 = 8 \times 5 = 40 ) 平方厘米。
2. 混合问题
题目：一个水池，甲管单独放水需要6小时，乙管单独放水需要8小时。现在甲管和乙管同时打开，请问多少小时后水池被放满？
解析：
甲管单独放水需要6小时，乙管单独放水需要8小时。甲管每小时放水的比例为 ( \frac{1}{6} )，乙管每小时放水的比例为 ( \frac{1}{8} )。
甲乙管同时打开，每小时放水的比例为 ( \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7}{24} )。
所以，放满水池需要的时间为：
[ 1 \div \frac{7}{24} = \frac{24}{7} ]
因此，水池被放满需要 ( \frac{24}{7} ) 小时。