例题 1：数集的概念
数集是由一些数按照一定顺序排列而成的集合。例如，自然数集就是从1开始的所有正整数的集合。
解答
自然数集：{1, 2, 3, 4, 5, …}
例题 2：数集的分类
数集可以分为有限数集和无限数集。有限数集是指数集中的元素个数是有限的，无限数集是指数集中的元素个数是无限的。
解答
自然数集是无限数集。
例题 3：数集的并集
两个数集A和B的并集是由属于A或B或同时属于A和B的所有元素组成的集合。
解答
如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，那么A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
例题 4：数集的交集
两个数集A和B的交集是由同时属于A和B的所有元素组成的集合。
解答
如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，那么A ∩ B = {3}。
例题 5：数集的差集
两个数集A和B的差集是由属于A但不属于B的所有元素组成的集合。
解答
如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，那么A - B = {1, 2}。
例题 6：数集的补集
数集A的补集是由不属于A的所有元素组成的集合，通常用A’表示。
解答
如果全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2, 3}，那么A’ = {4, 5}。
例题 7：数集的对称差集
两个数集A和B的对称差集是由属于A但不同时属于B，以及属于B但不同时属于A的所有元素组成的集合。
解答
如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，那么A △ B = {1, 2, 4, 5}。
例题 8：数集的幂集
数集A的幂集是由A的所有子集组成的集合。
解答
如果A = {1, 2, 3}，那么A的幂集为：{∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。
例题 9：数集的子集
如果数集A中的每个元素都属于数集B，那么称A为B的子集，记作A ⊆ B。
解答
如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，那么A ⊆ B。
例题 10：数集的真子集
如果数集A是数集B的子集，但A不等于B，那么称A为B的真子集，记作A ⊊ B。
解答
如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，那么A ⊊ B。
例题 11：数集的等集
如果两个数集A和B中的元素完全相同，那么称A和B为等集，记作A = B。
解答
如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，那么A = B。
例题 12：数集的对称性
如果数集A和B互为补集，即A ∩ B = ∅且A ∪ B = U，那么称A和B为对称的。
解答
如果A = {1, 2}，B = {3, 4}，全集U = {1, 2, 3, 4}，那么A和B互为对称。
例题 13：数集的包含关系
如果数集A是数集B的子集，那么称A包含于B。
解答
如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，那么A包含于B。
例题 14：数集的包含关系（真包含）
如果数集A是数集B的真子集，那么称A真包含于B。
解答
如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，那么A真包含于B。
例题 15：数集的交集的性质
数集A和B的交集满足以下性质：A ∩ B = B ∩ A，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。
解答
（1）A ∩ B = B ∩ A：因为交集的定义是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，所以A ∩ B和B ∩ A的元素是相同的。 （2）A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C：因为交集具有结合律，所以A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C。 （3）A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)：因为交集与并集具有分配律，所以A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。
例题 16：数集的并集的性质
数集A和B的并集满足以下性质：A ∪ B = B ∪ A，A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)。
解答
（1）A ∪ B = B ∪ A：因为并集的定义是由属于A或B的所有元素组成的集合，所以A ∪ B和B ∪ A的元素是相同的。 （2）A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C：因为并集具有结合律，所以A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C。 （3）A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)：因为并集与交集具有分配律，所以A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)。
例题 17：数集的差集的性质
数集A和B的差集满足以下性质：A - B = B - A，(A - B) - C = A - (B ∪ C)，A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C)。
解答
（1）A - B = B - A：因为差集的定义是由属于A但不属于B的所有元素组成的集合，所以A - B和B - A的元素是相同的。 （2）(A - B) - C = A - (B ∪ C)：因为差集与并集具有分配律，所以(A - B) - C = A - (B ∪ C)。 （3）A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C)：因为差集与交集具有分配律，所以A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C)。
例题 18：数集的补集的性质
数集A的补集满足以下性质：A’ ∪ A = U，A’ ∩ A = ∅，(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’，(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’。
解答
（1）A’ ∪ A = U：因为补集的定义是由不属于A的所有元素组成的集合，所以A’ ∪ A包含了全集U中的所有元素。 （2）A’ ∩ A = ∅：因为补集与原集合没有交集。 （3）(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’：因为补集与并集具有德摩根律，所以(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’。 （4）(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’：因为补集与交集具有德摩根律，所以(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’。
例题 19：数集的幂集的性质
数集A的幂集满足以下性质：∅ ∈ P(A)，A ∈ P(A)，P(A) ≠ ∅，P(A) ≠ A。
解答
（1）∅ ∈ P(A)：因为空集是任何集合的子集，所以空集属于幂集。 （2）A ∈ P(A)：因为任何集合都是其自身的子集，所以原集合属于幂集。 （3）P(A) ≠ ∅：因为幂集至少包含空集和原集合。 （4）P(A) ≠ A：因为幂集的元素个数比原集合多。
例题 20：数集的子集的性质
数集A的子集满足以下性质：A ⊆ A，A ⊆ A’，如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A = B。
解答
（1）A ⊆ A：因为任何集合都是其自身的子集。 （2）A ⊆ A’：因为补集是由不属于原集合的所有元素组成的集合，所以原集合必定是其补集的子集。 （3）如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A = B：因为如果A是B的子集，B也是A的子集，那么A和B中的元素是完全相同的，所以A等于B。
例题 21：数集的等集的性质
数集A和B的等集满足以下性质：如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A，如果A = B，则P(A) = P(B)。
解答
（1）如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以A是B的子集，B也是A的子集。 （2）如果A = B，则P(A) = P(B)：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以它们的幂集也完全相同。
例题 22：数集的对称性的性质
数集A和B的对称性满足以下性质：如果A和B互为对称，则A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。
解答
如果A和B互为对称，那么A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。这是因为对称性的定义是A和B互为补集，所以它们没有交集，且它们的并集是全集。
例题 23：数集的包含关系的性质
数集A和B的包含关系满足以下性质：如果A包含于B，则A ∪ B = B，如果A包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的子集，所以A ∪ B的元素就是B中的所有元素。 （2）如果A包含于B，则A ∩ B = A：因为A是B的子集，所以A ∩ B的元素就是A中的所有元素。
例题 24：数集的包含关系的性质（真包含）
数集A和B的真包含关系满足以下性质：如果A真包含于B，则A ∪ B = B，如果A真包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A真包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的真子集，所以A ∪ B的元素就是B中的所有元素。 （2）如果A真包含于B，则A ∩ B = A：因为A是B的真子集，所以A ∩ B的元素就是A中的所有元素。
例题 25：数集的等集的性质
数集A和B的等集满足以下性质：如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A，如果A = B，则P(A) = P(B)。
解答
（1）如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以A是B的子集，B也是A的子集。 （2）如果A = B，则P(A) = P(B)：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以它们的幂集也完全相同。
例题 26：数集的对称性的性质
数集A和B的对称性满足以下性质：如果A和B互为对称，则A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。
解答
如果A和B互为对称，那么A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。这是因为对称性的定义是A和B互为补集，所以它们没有交集，且它们的并集是全集。
例题 27：数集的包含关系的性质
数集A和B的包含关系满足以下性质：如果A包含于B，则A ∪ B = B，如果A包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的子集，所以A ∪ B的元素就是B中的所有元素。 （2）如果A包含于B，则A ∩ B = A：因为A是B的子集，所以A ∩ B的元素就是A中的所有元素。
例题 28：数集的包含关系的性质（真包含）
数集A和B的真包含关系满足以下性质：如果A真包含于B，则A ∪ B = B，如果A真包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A真包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的真子集，所以A ∪ B的元素就是B中的所有元素。 （2）如果A真包含于B，则A ∩ B = A：因为A是B的真子集，所以A ∩ B的元素就是A中的所有元素。
例题 29：数集的等集的性质
数集A和B的等集满足以下性质：如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A，如果A = B，则P(A) = P(B)。
解答
（1）如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以A是B的子集，B也是A的子集。 （2）如果A = B，则P(A) = P(B)：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以它们的幂集也完全相同。
例题 30：数集的对称性的性质
数集A和B的对称性满足以下性质：如果A和B互为对称，则A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。
解答
如果A和B互为对称，那么A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。这是因为对称性的定义是A和B互为补集，所以它们没有交集，且它们的并集是全集。
例题 31：数集的包含关系的性质
数集A和B的包含关系满足以下性质：如果A包含于B，则A ∪ B = B，如果A包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的子集，所以A ∪ B的元素就是B中的所有元素。 （2）如果A包含于B，则A ∩ B = A：因为A是B的子集，所以A ∩ B的元素就是A中的所有元素。
例题 32：数集的包含关系的性质（真包含）
数集A和B的真包含关系满足以下性质：如果A真包含于B，则A ∪ B = B，如果A真包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A真包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的真子集，所以A ∪ B的元素就是B中的所有元素。 （2）如果A真包含于B，则A ∩ B = A：因为A是B的真子集，所以A ∩ B的元素就是A中的所有元素。
例题 33：数集的等集的性质
数集A和B的等集满足以下性质：如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A，如果A = B，则P(A) = P(B)。
解答
（1）如果A = B，则A ⊆ B且B ⊆ A：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以A是B的子集，B也是A的子集。 （2）如果A = B，则P(A) = P(B)：因为等集的定义是集合中的元素完全相同，所以它们的幂集也完全相同。
例题 34：数集的对称性的性质
数集A和B的对称性满足以下性质：如果A和B互为对称，则A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。
解答
如果A和B互为对称，那么A ∩ B = ∅且A ∪ B = U。这是因为对称性的定义是A和B互为补集，所以它们没有交集，且它们的并集是全集。
例题 35：数集的包含关系的性质
数集A和B的包含关系满足以下性质：如果A包含于B，则A ∪ B = B，如果A包含于B，则A ∩ B = A。
解答
（1）如果A包含于B，则A ∪ B = B：因为A是B的子集