在小学奥数中，韦达公式是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决很多一元二次方程问题。韦达公式指的是，对于形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的一元二次方程，如果它有两个实数根 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，那么这两个根的和 ( x_1 + x_2 ) 等于 ( -\frac{b}{a} )，而这两个根的积 ( x_1 \cdot x_2 ) 等于 ( \frac{c}{a} )。
下面，我们就通过几个具体的例子来解析如何运用韦达公式解决应用题，让解题过程变得简单易懂。
例子一：已知方程的两根之和为7，积为10，求方程
解题步骤：
- 根据韦达公式，设方程为 ( ax^2 + bx + c = 0 )，那么 ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 7 )，( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 10 )。
- 由于系数 ( a ) 未知，我们可以假设 ( a = 1 )（这种假设不会影响最终的结果，因为 ( a ) 可以约去）。
- 将 ( a = 1 ) 代入上述等式，得到 ( x_1 + x_2 = -b = 7 ) 和 ( x_1 \cdot x_2 = c = 10 )。
- 由 ( x_1 + x_2 = 7 ) 可得 ( b = -7 )，由 ( x_1 \cdot x_2 = 10 ) 可得 ( c = 10 )。
- 因此，方程为 ( x^2 - 7x + 10 = 0 )。
答案： ( x^2 - 7x + 10 = 0 )
例子二：已知一元二次方程的两个根是 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，且 ( x_1 - x_2 = 3 )，( x_1 + x_2 = 5 )，求方程
解题步骤：
- 同样根据韦达公式，( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5 ) 和 ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )。
- 我们可以设 ( a = 1 )。
- 由于 ( x_1 - x_2 = 3 )，所以 ( (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (3)^2 )。
- 代入已知的 ( x_1 + x_2 = 5 )，得到 ( 5^2 - 4x_1x_2 = 9 )。
- 解得 ( x_1x_2 = 5.75 )。
- 因为 ( a = 1 )，所以 ( c = 5.75 )。
- 最终方程为 ( x^2 - 5x + 5.75 = 0 )。
答案： ( x^2 - 5x + 5.75 = 0 )
通过上述例子，我们可以看到，韦达公式在解决一元二次方程问题时非常有用，它可以将复杂的方程问题转化为简单的加减乘除运算。在实际解题过程中，关键是要熟练掌握韦达公式，并能灵活运用到具体问题中。