当你想要将一个向量绕Z轴旋转90度时，你可以使用旋转矩阵来实现这一坐标变换。下面，我将详细解释这个过程。
旋转矩阵
在三维空间中，一个向量绕Z轴旋转的旋转矩阵可以表示为：
[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
其中，(\theta) 是旋转角度，(R_z(\theta)) 是旋转矩阵。对于绕Z轴旋转90度，(\theta = \frac{\pi}{2})（或者180度）。
将(\theta = \frac{\pi}{2}) 代入上述旋转矩阵，我们得到：
[ R_z(\frac{\pi}{2}) = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
坐标变换
假设我们有一个向量 (\vec{v}) 在原始坐标系中，它的坐标为 ((x, y, z))。我们想要将这个向量绕Z轴旋转90度，使其变为 (\vec{v}’)。
旋转后的新坐标 (\vec{v}’) 可以通过以下矩阵乘法得到：
[ \vec{v}’ = R_z(\frac{\pi}{2}) \cdot \vec{v} ]
将 (R_z(\frac{\pi}{2})) 和 (\vec{v}) 的坐标代入上述公式，我们得到：
[ \vec{v}’ = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} ]
进行矩阵乘法运算，我们得到旋转后的新坐标为：
[ \vec{v}’ = \begin{bmatrix} -y \ x \ z \end{bmatrix} ]
这意味着，绕Z轴旋转90度后，向量在X轴和Y轴上的坐标交换，而Z轴坐标保持不变。
例子
假设我们有一个向量 (\vec{v} = (1, 2, 3))。我们将这个向量绕Z轴旋转90度，使用上面推导的方法：
[ \vec{v}’ = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} ]
计算得到：
[ \vec{v}’ = \begin{bmatrix} -2 \ 1 \ 3 \end{bmatrix} ]
因此，向量 ((1, 2, 3)) 绕Z轴旋转90度后的坐标是 ((-2, 1, 3))。
通过这种方式，你可以将任意向量绕Z轴旋转任意角度。只需调整旋转矩阵中的角度参数，并重新进行坐标变换即可。