线性代数作为高等数学的一个重要分支，是许多理工科专业的基础课程。第三版的线性代数教材在内容上更加丰富，习题也更加深入。以下是对该版教材配套习题的详解及答案，旨在帮助读者更好地理解和掌握线性代数的相关知识。
第一章 行列式
1.1 定义与性质
习题1.1： 证明行列式的按行展开定理。
解答： 行列式的按行展开定理指出，一个n阶行列式可以按任意一行（或一列）展开，展开后其余行（或列）的元素与其代数余子式的乘积之和等于原行列式。具体证明如下：
设行列式\(D\)按第i行展开，则有： $\( D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} M_{ij} \)\( 其中，\)a{ij}\(是第i行第j列的元素，\)M{ij}\(是元素\)a_{ij}$的代数余子式。
对于任意元素\(a_{ij}\)，其代数余子式\(M_{ij}\)可表示为： $\( M_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij}) \)\( 其中，\)A{ij}\(是将元素\)a{ij}$所在的第i行和第j列删除后剩下的n-1阶子矩阵的行列式。
通过数学归纳法可以证明上述定理。
1.2 行列式的计算
习题1.2： 计算下列行列式。
\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]
解答： 按照第三行展开，得到： $$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 7 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 4 & 5 \end{vmatrix}
- 8 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 4 & 6 \end{vmatrix}
- 9 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 4 & 5 \end{vmatrix} $\( 计算得到： \)\( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3 \)\( \)\( \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = -6 \)\( \)\( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3 \)\( 因此，原行列式的值为： \)\( 7 \cdot (-3) - 8 \cdot (-6) + 9 \cdot (-3) = -21 + 48 - 27 = 0 \)$
第二章 矩阵
2.1 矩阵的基本性质
习题2.1： 证明矩阵乘法的结合律。
解答： 设矩阵\(A\), \(B\), \(C\)的阶分别为\(m \times n\), \(n \times p\), \(p \times q\)。则\(AB\)的阶为\(m \times p\)，\(BC\)的阶为\(n \times q\)。
根据矩阵乘法的定义，我们有： $\((AB)C = (A(BC)) = (A \cdot B) \cdot C\)\( 由于矩阵乘法满足结合律，因此： \)\((AB)C = (A \cdot B) \cdot C\)$ 这证明了矩阵乘法的结合律。
2.2 矩阵的秩
习题2.2： 计算下列矩阵的秩。
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \]
解答： 该矩阵的秩可以通过初等行变换来计算。首先，我们观察到第一行是第二行和第三行的线性组合，因此可以通过行变换将其消去。
进行初等行变换： $\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 - 3r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)$ 经过变换后，矩阵变为阶梯形矩阵，其秩为1。
第三章 线性方程组
3.1 线性方程组的解法
习题3.1： 解下列线性方程组。
\[ \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y + 2z = 2 \\ 3x + 6y + 3z = 3 \end{cases} \]
解答： 将方程组写成增广矩阵的形式： $\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & 4 & 2 & | & 2 \\ 3 & 6 & 3 & | & 3 \end{bmatrix} \)\( 进行行变换： \)\( \xrightarrow{r_2 - 2r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 3 & 6 & 3 & | & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{r_3 - 3r_1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 6 & | & 0 \end{bmatrix} \)\( 继续进行行变换： \)\( \xrightarrow{r_3 - \frac{3}{2}r_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \)\( 最后，我们得到： \)\( \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \)\( 由此可得，方程组的解为\)x = 1\(, \)y = 0\(, \)z = 0$。
以上是对线性代数第三版配套习题的详解及答案，希望对学习线性代数的读者有所帮助。