微积分是高等数学的核心内容，它广泛应用于物理、工程、经济学等众多领域。掌握微积分的基本公式和技巧，对于深入学习相关学科至关重要。本文将从基础函数到高阶技巧，全面解析微积分中的必备公式。
一、导数公式
导数是微积分的基础，以下是一些常见的导数公式：
基本导数公式：
- ( ©’ = 0 ) （其中 ( c ) 为常数）
- ( (x)’ = 1 ) （( x ) 为自变量）
- ( (x^n)’ = nx^{n-1} ) （( n ) 为正整数）
幂函数的导数：
- ( (x^n)’ = nx^{n-1} ) （( n ) 为正整数）
指数函数的导数：
- ( (a^x)’ = a^x \ln a ) （( a > 0 )，( a \neq 1 )）
对数函数的导数：
- ( (\ln x)’ = \frac{1}{x} ) （( x > 0 )）
三角函数的导数：
- ( (\sin x)’ = \cos x )
- ( (\cos x)’ = -\sin x )
- ( (\tan x)’ = \sec^2 x )
- ( (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )
- ( (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} )
- ( (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} )
二、积分公式
积分是微积分的另一个重要内容，以下是一些常见的积分公式：
基本积分公式：
- ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ) （( n \neq -1 )）
- ( \int \sin x dx = -\cos x + C )
- ( \int \cos x dx = \sin x + C )
- ( \int \tan x dx = -\ln |\cos x| + C )
- ( \int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C )
- ( \int \csc x dx = -\ln |\csc x - \cot x| + C )
三角函数的积分：
- ( \int \sin^n x dx = \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x d(\sin x) ) （( n \neq 0, 1 )）
- ( \int \cos^n x dx = \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x d(\cos x) ) （( n \neq 0, 1 )）
反三角函数的积分：
- ( \int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C )
- ( \int \arccos x dx = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C )
- ( \int \arctan x dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C )
三、高阶技巧
分部积分：
- 分部积分公式：( \int u dv = uv - \int v du )
- 应用分部积分时，需要根据具体问题选择合适的 ( u ) 和 ( dv )。
换元积分：
- 换元积分公式：( \int f(x) dx = \int f(u) du ) （其中 ( u = g(x) )，( du = g’(x) dx )）
- 应用换元积分时，需要找到合适的 ( g(x) ) 和 ( g’(x) )。
分式积分：
- 分式积分公式：( \int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \int \frac{f’(x)}{g’(x)} \ln |g(x)| dx )
- 应用分式积分时，需要将分式积分转化为对数积分。
有理函数积分：
- 有理函数积分公式：( \int \frac{P(x)}{Q(x)} dx = \frac{P(x) \ln |Q(x)|}{Q’(x)} - \int \frac{Q’(x) P(x)}{Q(x)^2} dx )
- 应用有理函数积分时，需要将积分式转化为上述公式形式。
通过以上解析，相信你已经对微积分的基本公式和技巧有了更深入的了解。在实际应用中，灵活运用这些公式和技巧，可以帮助你解决更多数学问题。祝你学习愉快！