在数学的世界里，韦达定理是一个神奇的存在，它揭示了二次方程根与系数之间的内在联系。今天，就让我们一起走进韦达定理的奇妙世界，通过例题详解，轻松掌握这一技巧。
什么是韦达定理？
韦达定理是关于一元二次方程的根与系数之间关系的定理。它指出，对于形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的一元二次方程，如果它有两个实数根 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，那么这两个根满足以下关系：
- ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ) （根与系数的关系之一）
- ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} ) （根与系数的关系之二）
简单来说，就是方程的两个根之和等于系数 ( b ) 的相反数除以系数 ( a )，而两个根的乘积等于常数项 ( c ) 除以系数 ( a )。
例题详解
例题1：求解方程 ( 2x^2 - 4x - 6 = 0 ) 的根
解题思路：
根据韦达定理，我们可以先求出两个根的和与乘积，再利用求根公式求解。
解题步骤：
- 根据韦达定理，( x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2 )，( x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{2} = -3 )。
- 利用求根公式 ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )，代入 ( a = 2 )，( b = -4 )，( c = -6 )。
- 计算得到 ( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4} )。
- 解得 ( x_1 = 3 )，( x_2 = -1 )。
例题2：已知方程 ( x^2 + 5x + 6 = 0 ) 的两个根之和为 4，求这两个根的乘积
解题思路：
已知两个根之和，可以利用韦达定理求出两个根的乘积。
解题步骤：
- 根据韦达定理，( x_1 + x_2 = -\frac{5}{1} = -5 )。
- 根据题目条件，( x_1 + x_2 = 4 )。
- 由此可知，方程的两个根之和为 4，乘积为 ( x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6 )。
总结
韦达定理是一个简单而又强大的工具，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。通过以上例题，相信你已经对韦达定理有了更深入的了解。在今后的学习中，多加练习，相信你一定能够熟练运用这一技巧。