一、选择题部分
1. 真题展示
题目:在平面直角坐标系中,点A(2,3),点B在直线y=2x+1上,且三角形OAB的面积最小,求点B的坐标。
答案:点B的坐标为(1,3)。
解答详解
步骤一:首先,我们确定三角形OAB的面积公式,即 ( S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 )。
步骤二:由于点A和点B都在直线y=2x+1上,我们可以通过计算点A到直线y=2x+1的距离来得到高。
步骤三:点到直线的距离公式为 ( d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ),其中A、B、C为直线Ax + By + C = 0的系数。
步骤四:将直线y=2x+1转换为一般式,得到2x - y + 1 = 0。代入点A的坐标(2,3),计算得到高为1。
步骤五:由于三角形OAB的面积最小,我们需要找到距离点A最近的点B。根据平面几何知识,垂线段最短,因此我们可以通过求点A到直线y=2x+1的垂线与直线的交点来得到点B。
步骤六:求点A到直线y=2x+1的垂线方程,设垂线方程为y=kx+b。由于垂线斜率为直线斜率的负倒数,所以k=-1/2。
步骤七:将点A的坐标代入垂线方程,得到3=-1⁄2 * 2 + b,解得b=4。因此,垂线方程为y=-1/2x+4。
步骤八:联立直线y=2x+1和垂线y=-1/2x+4,解得点B的坐标为(1,3)。
二、填空题部分
1. 真题展示
题目:若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值,则a、b、c应满足的条件是______。
答案:a>0,b=0,c为任意实数。
解答详解
步骤一:首先,我们知道二次函数的开口方向由a的符号决定,即a>0时开口向上,a时开口向下。
步骤二:由于函数在x=1时取得最小值,说明此时函数的导数为0。
步骤三:求函数f(x)的导数f’(x) = 2ax + b。
步骤四:将x=1代入导数,得到f’(1) = 2a + b = 0。
步骤五:根据步骤四的结果,我们得到b=-2a。
步骤六:由于函数在x=1时取得最小值,说明此时函数的判别式Δ=b^2-4ac应小于0。
步骤七:将b=-2a代入判别式,得到Δ=(-2a)^2-4ac=4a^2-4ac。
步骤八:由于Δ,我们得到4a^2-4ac,即a^2-ac。
步骤九:由于a>0,我们可以将不等式a^2-ac两边同时除以a,得到a-c。
步骤十:综上所述,a>0,b=-2a,c为任意实数。
三、解答题部分
1. 真题展示
题目:已知数列{an}满足an+1=2an+1,且a1=1,求an的通项公式。
答案:an=2^n-1。
解答详解
步骤一:首先,我们观察数列的递推关系an+1=2an+1。
步骤二:为了找到数列的通项公式,我们可以尝试将递推关系转化为等比数列的形式。
步骤三:将递推关系两边同时加1,得到an+1+1=2an+2。
步骤四:将递推关系两边同时除以2,得到(\frac{an+1+1}{2} = an+1)。
步骤五:由于(\frac{an+1+1}{2})与an+1之间的关系是等比数列,我们可以设等比数列的公比为r。
步骤六:根据等比数列的定义,我们有(\frac{an+1+1}{2} = an+1 \cdot r)。
步骤七:将an+1=2an+1代入上式,得到(\frac{2an+2}{2} = 2an+1 \cdot r)。
步骤八:化简上式,得到an+2=2an+1 \cdot r。
步骤九:由于an+2=2an+1,我们可以得到r=2。
步骤十:根据等比数列的通项公式an=a1 \cdot r^{n-1},代入a1=1和r=2,得到an=2^{n-1}。
步骤十一:将通项公式中的n替换为n+1,得到an+1=2^n。
步骤十二:将an+1=2an+1代入上式,得到an=2^n-1。
通过以上解析,我们详细解答了2017年四川数学高考真题的选择题、填空题和解答题部分。希望这份详解能够帮助到广大考生,在未来的学习中取得更好的成绩。
