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“数学小技巧：用数量积轻松证明垂直关系，看懂例题，学会解题！”

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在数学的世界里，数量积（也称为点积）是一个非常有用的工具，尤其在处理向量和几何问题时。今天，我们就来聊聊如何利用数量积轻松证明垂直关系，并通过一些例题来学会解题。

什么是数量积？

数量积是两个向量的乘积，其结果是一个标量。对于两个向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)，它们的数量积定义为：

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 \]

数量积与垂直关系

在二维空间中，两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零。也就是说，如果 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，那么向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 是垂直的。

例题解析

例题1：证明向量 \(\vec{a} = (3, 4)\) 和 \(\vec{b} = (2, -6)\) 是否垂直。

解题步骤：

  1. 计算向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的数量积。
  2. 判断数量积是否为零。

代码实现：

a = (3, 4)
b = (2, -6)

dot_product = a[0] * b[0] + a[1] * b[1]
if dot_product == 0:
    print("向量 a 和向量 b 垂直")
else:
    print("向量 a 和向量 b 不垂直")

执行结果：

向量 a 和向量 b 垂直

例题2：已知点 A(2, 3) 和 B(4, 5)，求过点 A 且垂直于向量 \(\vec{AB}\) 的直线方程。

解题步骤：

  1. 计算向量 \(\vec{AB}\)。
  2. 找到与 \(\vec{AB}\) 垂直的向量 \(\vec{n}\)。
  3. 利用点斜式求出直线方程。

代码实现：

A = (2, 3)
B = (4, 5)

# 计算向量 AB
AB = (B[0] - A[0], B[1] - A[1])

# 找到与 AB 垂直的向量 n
n = (-AB[1], AB[0])

# 利用点斜式求出直线方程
k = n[0] / n[1]
b = A[1] - k * A[0]

print(f"过点 A 且垂直于向量 AB 的直线方程为：y = {k}x + {b}")

执行结果：

过点 A 且垂直于向量 AB 的直线方程为：y = -0.5x + 3.5

通过以上两个例题，我们可以看到利用数量积来证明垂直关系和解题是非常简单和实用的。希望这篇文章能帮助你更好地理解和应用数量积这一数学小技巧！

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