一、选择题详解
题目1：函数的连续性
题目：函数\(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases}\) 在\(x=0\)处是否连续？
答案解析：要判断函数在\(x=0\)处是否连续，需要检查以下三个条件是否同时满足：
- \(\lim_{x \to 0} f(x)\) 存在。
- \(f(0)\) 定义。
- \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\)。
对于这个函数，我们有：
- \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0\)。
- \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2) = 0\)。
- \(f(0) = 0^2 = 0\)。
因此，\(\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)\)，所以函数在\(x=0\)处连续。
二、填空题详解
题目2：极限计算
题目：计算 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)。
答案解析：这是一个典型的“\(\frac{0}{\infty}\)”型极限问题。当\(x\)趋向于无穷大时，\(\sin x\)的值在\([-1, 1]\)之间震荡，而\(x\)趋向于无穷大。因此，\(\frac{\sin x}{x}\)的值趋向于0。所以， $\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0.\)$
三、解答题详解
题目3：一元二次方程的解
题目：解方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)。
答案解析：这是一个标准的一元二次方程，可以使用求根公式来解。一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的解为： $\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\)$
对于方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)，我们有 \(a = 1\)，\(b = -5\)，\(c = 6\)。代入求根公式得： $\(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}.\)$
因此，方程的解为 \(x_1 = 3\) 和 \(x_2 = 2\)。
题目4：导数的计算
题目：计算函数 \(f(x) = e^x \sin x\) 的导数。
答案解析：这是一个乘积函数的求导问题，可以使用乘积法则来求解。乘积法则指出，如果有两个可导函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\)，那么它们的乘积 \(u(x)v(x)\) 的导数为： $\((uv)' = u'v + uv'.\)$
对于 \(f(x) = e^x \sin x\)，我们设 \(u(x) = e^x\) 和 \(v(x) = \sin x\)。那么， $\(u'(x) = e^x, \quad v'(x) = \cos x.\)$
应用乘积法则，我们得到： $\(f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x).\)$
因此，函数 \(f(x) = e^x \sin x\) 的导数为 \(f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)\)。
四、总结
以上是对数学卷三理科数学解答题的选择题、填空题和解答题的详解及答案解析。通过对这些题目的详细解答，可以帮助读者更好地理解相关的数学概念和解题方法。在数学学习中，不断练习和总结是非常重要的。希望这些解析能够对您的学习有所帮助。