在解答数学高考调研试卷中的题目时，理解题意、掌握解题方法和技巧是至关重要的。以下是对一些典型题目的答案解析，旨在帮助考生更好地理解和解题。
题目一：解析几何问题
题目描述： 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中 \(a > b\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(OP\) 垂直于椭圆的短轴。求点 \(P\) 到原点 \(O\) 的距离。
解题步骤：
- 由于 \(OP\) 垂直于短轴，所以 \(P\) 的坐标形式为 \((0, \pm b)\)。
- 将 \(P\) 的坐标代入椭圆方程，得到 \(\frac{0}{a^2} + \frac{b^2}{b^2} = 1\)，满足椭圆方程。
- 因此，点 \(P\) 到原点 \(O\) 的距离为 \(b\)。
答案： 点 \(P\) 到原点 \(O\) 的距离为 \(b\)。
题目二：数列问题
题目描述： 已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n = 3n^2 - 2n\)，求 \(\{a_n\}\) 的通项公式。
解题步骤：
- 当 \(n = 1\) 时，\(a_1 = S_1 = 3 \times 1^2 - 2 \times 1 = 1\)。
- 当 \(n \geq 2\) 时，\(a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - 2n) - [3(n-1)^2 - 2(n-1)]\)。
- 展开并化简上式，得到 \(a_n = 6n - 5\)。
答案： 数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 6n - 5\)。
题目三：概率问题
题目描述： 从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。
解题步骤：
- 一副扑克牌中有13张红桃牌。
- 总共有52张牌。
- 因此，抽到红桃的概率为 \(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)。
答案： 抽到红桃的概率为 \(\frac{1}{4}\)。
题目四：立体几何问题
题目描述： 已知正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的棱长为 \(2\)，求点 \(A\) 到平面 \(B_1C_1D_1\) 的距离。
解题步骤：
- 正方体的对角线 \(AC_1\) 的长度为 \(\sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = 2\sqrt{3}\)。
- 平面 \(B_1C_1D_1\) 与正方体的底面 \(ABCD\) 平行，所以 \(AC_1\) 垂直于平面 \(B_1C_1D_1\)。
- 因此，点 \(A\) 到平面 \(B_1C_1D_1\) 的距离等于 \(AC_1\) 的一半，即 \(\sqrt{3}\)。
答案： 点 \(A\) 到平面 \(B_1C_1D_1\) 的距离为 \(\sqrt{3}\)。
通过以上解析，考生可以更好地理解这些数学题目的解题思路和方法。在备考过程中，多练习、多总结是提高解题能力的关键。