一、极限的基本概念
1.1 极限的定义
极限是数学分析中一个核心概念，它描述了一个函数在自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。形式上，若对于任意小的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，则称函数f(x)当x趋于a时极限为L，记作：
\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]
1.2 极限的性质
- 存在性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的。
- 保号性：如果f(x) > L > 0（或f(x) < L < 0），那么当x趋于a时，f(x)也趋于L。
- 无穷大的性质：如果f(x)趋于正无穷大或负无穷大，那么极限也存在，并且为相应的无穷大。
二、极限的计算
2.1 极限的四则运算
极限的四则运算遵循基本的算术规则，即极限的加减乘除运算等于对应函数极限的加减乘除运算。
2.2 夹逼定理
夹逼定理指出，如果一个数列被两个其他数列夹逼，那么这个数列也收敛，且极限等于夹逼它们的数列的极限。
2.3 极限的运算法则
- 极限的线性：\(\lim_{x \to a} [af(x) + bg(x)] = a\lim_{x \to a} f(x) + b\lim_{x \to a} g(x)\)
- 极限的乘法：\(\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\)
- 极限的除法：\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\)，前提是\(\lim_{x \to a} g(x) \neq 0\)
三、连续性
3.1 连续的定义
函数在某一点连续，意味着该点的极限存在，且极限值等于函数在该点的函数值。形式上，若：
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
则称f(x)在x=a处连续。
3.2 连续的性质
- 保号性：如果f(x)在[a, b]上连续，且f(a) > 0（或f(a) < 0），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f© > 0（或f© < 0）。
- 介值定理：如果f(x)在[a, b]上连续，且f(a) < f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的数L，至少存在一点c ∈ [a, b]，使得f© = L。
3.3 不连续点
- 间断点：如果f(x)在某点不连续，则称该点为间断点。
- 可去间断点：如果间断点可以通过定义函数在该点的值来消除，则称该间断点为可去间断点。
- 跳跃间断点：如果间断点两边的极限值存在但不相等，则称该间断点为跳跃间断点。
通过以上要点速记，可以帮助你在学习数学分析第十七章时，快速掌握极限与连续性的基本概念、性质和计算方法。