一、导数与微分
1.1 导数的概念
导数是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。以下是一个关于导数的例子：
例1.1： 求函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的导数。
解： $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x \)\( 因此，\)f’(2) = 4$。
1.2 微分
微分是导数的近似表示，它描述了函数在某一点的线性近似。以下是一个关于微分的例子：
例1.2： 求函数 \(f(x) = x^3\) 在 \(x = 1\) 处的微分。
解： $\( \Delta y = f'(1) \cdot \Delta x = 3 \cdot \Delta x \)\( 因此，\)\mathrm{d}y = 3x^2 \mathrm{d}x\(，当 \)x = 1\( 时，\)\mathrm{d}y = 3 \mathrm{d}x$。
二、极限
2.1 极限的概念
极限是高等数学中的一个基本概念，它描述了当自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。以下是一个关于极限的例子：
例2.1： 求 \(\lim_{x \to 2} (x^2 - 4)\)。
解： $\( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = \lim_{x \to 2} (x-2)(x+2) = (2-2)(2+2) = 0 \)$
2.2 无穷大量与无穷小量
无穷大量和无穷小量是极限的两种特殊形式。以下是一个关于无穷大量和无穷小量的例子：
例2.2： 求 \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) 和 \(\lim_{x \to 0} x^2\)。
解： $\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = +\infty \quad \text{和} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \)$
三、导数应用
3.1 求导法则
求导法则包括幂法则、乘法法则、除法法则、链式法则等。以下是一个关于求导法则的例子：
例3.1： 求函数 \(f(x) = x^3 \sin x\) 的导数。
解： $\( f'(x) = (x^3)' \sin x + x^3 (\sin x)' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x \)$
3.2 函数的极值与最值
函数的极值和最值是导数在几何中的应用。以下是一个关于函数的极值和最值的例子：
例3.2： 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 的极大值和极小值。
解： $\( f'(x) = 3x^2 - 6x \quad \text{令} \quad f'(x) = 0 \quad \text{得} \quad x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2 \)\( 当 \)x = 0\( 时，\)f”(0) = 6 > 0\(，故 \)x = 0\( 为极小值点；当 \)x = 2\( 时，\)f”(2) = -12 < 0\(，故 \)x = 2\( 为极大值点。因此，函数的极小值为 \)f(0) = 2\(，极大值为 \)f(2) = -2$。