引言
上海交通大学作为中国顶尖的高等学府，其微积分课程一直以来都是学生们的挑战。杨辉煌教授，作为该校的知名数学教育家，其讲解的微积分难题解析深受学生们的喜爱。本文将深入解析杨辉煌教授在微积分课程中的一些难题，并分享其答案精华。
一、极限的计算
1.1 题目示例
考虑以下极限问题： [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} ]
1.2 解题思路
杨辉煌教授指出，解决此类极限问题的关键在于理解极限的定义以及三角函数的性质。
1.3 解题步骤
- 根据极限的定义，我们需要找到一个值 ( L )，使得当 ( x ) 趋近于 0 时，函数 ( \frac{\sin x}{x} ) 的值趋近于 ( L )。
- 利用三角函数的泰勒展开式，我们可以近似地将 ( \sin x ) 表示为 ( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) )。
- 将其代入原极限问题中，得到： [ \lim{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x} = \lim{x \to 0} \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) ]
- 当 ( x ) 趋近于 0 时，高阶无穷小 ( O(x^4) ) 可以忽略，因此： [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ]
二、导数的求解
2.1 题目示例
求解函数 ( f(x) = e^x \sin x ) 的导数。
2.2 解题思路
杨辉煌教授强调，对于复合函数的导数求解，需要运用乘积法则和链式法则。
2.3 解题步骤
- 应用乘积法则，设 ( u(x) = e^x ) 和 ( v(x) = \sin x )，则 ( f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) )。
- 计算 ( u’(x) ) 和 ( v’(x) )，得到 ( u’(x) = e^x ) 和 ( v’(x) = \cos x )。
- 将 ( u’(x) ) 和 ( v’(x) ) 代入乘积法则中，得到： [ f’(x) = e^x \sin x + e^x \cos x ]
- 因此，函数 ( f(x) = e^x \sin x ) 的导数为 ( f’(x) = e^x (\sin x + \cos x) )。
三、积分的应用
3.1 题目示例
求解定积分 ( \int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx )。
3.2 解题思路
杨辉煌教授建议，对于涉及三角函数的积分，可以考虑使用分部积分法。
3.3 解题步骤
- 设 ( u = x^2 ) 和 ( dv = \sin x \, dx )，则 ( du = 2x \, dx ) 和 ( v = -\cos x )。
- 应用分部积分法，得到： [ \int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx ]
- 再次使用分部积分法求解 ( \int 2x \cos x \, dx )，设 ( u = 2x ) 和 ( dv = \cos x \, dx )，得到： [ \int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx ]
- 继续计算，得到： [ \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x ]
- 将上述结果代入原积分中，得到： [ \int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -\pi^2 \cos \pi + 2\pi \sin \pi - (-2\cos 0) = \pi^2 + 2 ]
结论
通过杨辉煌教授的解析，我们可以看到，解决微积分难题需要扎实的理论基础和灵活的解题技巧。本文所提供的解析和步骤，希望能够帮助读者更好地理解和掌握微积分的精髓。