概率论是数学的一个重要分支，它在统计学、金融学、计算机科学等多个领域都有广泛的应用。上海交通大学作为我国著名的高等学府，其概率论课程内容丰富，习题多样。以下是对上海交通大学概率论习题的详解与答案集锦，希望能帮助到广大学习者。
一、习题分类
- 基础概念题
- 随机变量及其分布题
- 随机向量及其分布题
- 多维随机变量函数分布题
- 随机事件的独立性题
- 大数定律与中心极限定理题
二、基础概念题详解与答案
1. 概率的基本性质
题目：设事件A、B、C相互独立，P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，P© = 0.4，求P(ABC)。
解答：由于事件A、B、C相互独立，因此P(ABC) = P(A)P(B)P© = 0.2 × 0.3 × 0.4 = 0.024。
2. 条件概率
题目：袋中有5个红球、3个蓝球和2个白球，现从中随机取出两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：取出两个球颜色相同的情况有两种：取出两个红球或两个蓝球。因此，P(颜色相同) = P(两个红球) + P(两个蓝球) = C(5,2)/C(10,2) + C(3,2)/C(10,2) = 5/18。
三、随机变量及其分布题详解与答案
1. 一维离散型随机变量
题目：掷一枚公平的硬币，求出现正面朝上的概率分布。
解答：设X为掷硬币出现正面的次数，则X的概率分布为：
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P(X) | 1⁄2 | 1⁄2 |
2. 一维连续型随机变量
题目：设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布，求E(X)和Var(X)。
解答：由于X服从均匀分布，其概率密度函数为f(x) = 1，当0 ≤ x ≤ 1；0，其他。因此，E(X) = ∫[0,1] xf(x)dx = 1/2，Var(X) = ∫0,1^2f(x)dx = 1/12。
四、多维随机变量及其分布题详解与答案
1. 二维离散型随机变量
题目：设随机变量X和Y的联合概率分布如下表所示，求P(X=1|Y=2)。
| X | Y | P(X,Y) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 |
| 0 | 1 | 0.2 |
| 1 | 0 | 0.3 |
| 1 | 1 | 0.4 |
解答：P(X=1|Y=2) = P(X=1,Y=2) / P(Y=2) = 0.4 / 0.7 = 4/7。
2. 二维连续型随机变量
题目：设随机变量X和Y在平面区域D内服从均匀分布，D是由直线y=x，y=2x和x=1围成的三角形区域，求E(XY)。
解答：由于X和Y在D内服从均匀分布，其概率密度函数为f(x,y) = 1/(3*1) = 1/3，当x∈[0,1]，y∈[x,2x]。因此，E(XY) = ∫∫[D] xyf(x,y)dxdy = 1/3。
五、多维随机变量函数分布题详解与答案
1. 一元函数的变换
题目：设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，求Y = e^X的概率密度函数。
解答：设F_X(x)为X的分布函数，则F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(e^X ≤ y) = P(X ≤ ln(y)) = F_X(ln(y))。因此，f_Y(y) = F’_Y(y) = f_X(ln(y)) * (1/y)。
2. 多元函数的变换
题目：设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y) = kx^2y^2，当0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1；0，其他。求常数k和随机变量Z = X + Y的概率密度函数。
解答：首先，求常数k：∫∫[D] f(x,y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,1] kx^2y^2dxdy = k/3 = 1，解得k = 3。接着，求Z的概率密度函数：f_Z(z) = ∫∫[D] f(x,y)δ(z - x - y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,1] 3x^2y^2δ(z - x - y)dxdy。
六、随机事件的独立性题详解与答案
1. 事件独立性
题目：设事件A、B、C相互独立，P(A) = 0.5，P(B) = 0.3，P© = 0.2，求P(A∩B∩C)。
解答：由于事件A、B、C相互独立，因此P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P© = 0.5 × 0.3 × 0.2 = 0.03。
2. 条件独立性
题目：设事件A、B、C相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P© = 0.2，求P(A|B∩C)。
解答：由于事件A、B、C相互独立，因此P(A|B∩C) = P(A) = 0.4。
七、大数定律与中心极限定理题详解与答案
1. 大数定律
题目：设随机变量序列{X_n}相互独立同分布，E(X_n) = μ，Var(X_n) = σ^2，求证：P(1/nΣ(X_n - μ) → 0) = 1。
解答：根据切比雪夫不等式，对于任意ε > 0，有P(|1/nΣ(X_n - μ)| ≥ ε) ≤ Var(1/nΣ(X_n - μ))/ε^2 = σ^2/nε^2。由于σ^2 > 0，因此当n → ∞时，P(|1/nΣ(X_n - μ)| ≥ ε) → 0，即P(1/nΣ(X_n - μ) → 0) = 1。
2. 中心极限定理
题目：设随机变量序列{X_n}相互独立同分布，E(X_n) = μ，Var(X_n) = σ^2，求证：当n → ∞时，Σ(X_n - μ)/√n服从标准正态分布N(0,1)。
解答：根据中心极限定理，对于任意ε > 0，有P(|Σ(X_n - μ)/√n - 0| ≥ ε) ≤ Var(Σ(X_n - μ)/√n)/ε^2 = σ^2/ε^2。由于σ^2 > 0，因此当n → ∞时，P(|Σ(X_n - μ)/√n - 0| ≥ ε) → 0，即Σ(X_n - μ)/√n → N(0,1)。