在数学中，理解函数的单调性对于分析函数的行为至关重要。单调性指的是函数在其定义域内是递增还是递减。在这个问题中，我们要找出函数 ( y = (x-1)^2 - 1 ) 的单调减少区间。
1. 确定函数的定义域
首先，函数 ( y = (x-1)^2 - 1 ) 是一个多项式函数，其定义域是所有实数，即 ( (-\infty, +\infty) )。
2. 求导数
为了找出函数的单调性，我们需要计算其一阶导数。函数 ( y = (x-1)^2 - 1 ) 的一阶导数 ( y’ ) 可以通过应用链式法则来求得。
[ y = (x-1)^2 - 1 ] [ y’ = 2(x-1) ]
3. 分析导数的符号
函数的单调性可以通过分析其一阶导数的符号来确定。如果 ( y’ > 0 )，则函数在该区间内递增；如果 ( y’ < 0 )，则函数在该区间内递减。
对于 ( y’ = 2(x-1) )，我们需要找出 ( y’ < 0 ) 的区间。
[ 2(x-1) < 0 ] [ x-1 < 0 ] [ x < 1 ]
因此，当 ( x < 1 ) 时，函数 ( y = (x-1)^2 - 1 ) 是单调递减的。
4. 确定单调减少区间
根据上述分析，我们可以得出函数 ( y = (x-1)^2 - 1 ) 的单调减少区间为 ( (-\infty, 1) )。
5. 验证
为了验证我们的结果，我们可以选择区间 ( (-\infty, 1) ) 内的几个点，例如 ( x = 0 ) 和 ( x = -1 )，来计算函数值，并观察函数值的变化。
当 ( x = 0 ) 时： [ y = (0-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 ]
当 ( x = -1 ) 时： [ y = (-1-1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 ]
由于 ( y ) 的值从 ( x = -1 ) 到 ( x = 0 ) 减小，这证实了我们的分析是正确的。
结论
函数 ( y = (x-1)^2 - 1 ) 的单调减少区间是 ( (-\infty, 1) )。在这个区间内，函数值随着 ( x ) 的增加而减少。