在概率论的世界里，全概率公式是一把开启智慧之门的钥匙。它不仅可以帮助我们解决各种复杂的概率问题，还能让我们在数学的海洋中畅游无阻。本文将深入浅出地介绍全概率公式，并通过实战例题解析，带你领略其魅力。
一、全概率公式的定义
全概率公式是概率论中的一个重要公式，它描述了在一系列互斥且完备的事件中，某个事件发生的概率。公式如下：
[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)P(B_i) ]
其中，( P(A) ) 表示事件 ( A ) 发生的概率，( P(A|B_i) ) 表示在事件 ( B_i ) 发生的条件下，事件 ( A ) 发生的概率，( P(B_i) ) 表示事件 ( B_i ) 发生的概率，( n ) 表示互斥且完备的事件总数。
二、全概率公式的应用
全概率公式在解决实际问题中具有广泛的应用，以下列举几个例子：
1. 医学诊断
假设有一个疾病 ( A )，它可以通过两种检测方法 ( B_1 ) 和 ( B_2 ) 来诊断。已知 ( P(A) = 0.01 )，( P(B_1|A) = 0.95 )，( P(B_1|\neg A) = 0.05 )，( P(B_2|A) = 0.90 )，( P(B_2|\neg A) = 0.10 )。要求计算在 ( B_1 ) 和 ( B_2 ) 同时为正的情况下，疾病 ( A ) 发生的概率。
根据全概率公式，我们有：
[ P(A|B_1 \cap B_2) = \frac{P(A)P(B_1|A)P(B_2|A)}{P(B_1)P(B_2)} ]
计算得：
[ P(A|B_1 \cap B_2) = \frac{0.01 \times 0.95 \times 0.90}{0.95 \times 0.90 + 0.99 \times 0.10} \approx 0.0909 ]
2. 保险理赔
假设一家保险公司有三种保险产品 ( A_1 )，( A_2 )，( A_3 )，它们分别对应 ( P(A_1) = 0.3 )，( P(A_2) = 0.4 )，( P(A_3) = 0.3 )。已知在 ( A_1 ) 发生的条件下，理赔金额 ( B_1 ) 为 1000 元的概率为 0.8，( B_2 ) 为 2000 元的概率为 0.2；在 ( A_2 ) 发生的条件下，理赔金额 ( B_1 ) 为 1500 元的概率为 0.6，( B_2 ) 为 2500 元的概率为 0.4；在 ( A_3 ) 发生的条件下，理赔金额 ( B_1 ) 为 1200 元的概率为 0.5，( B_2 ) 为 1800 元的概率为 0.5。要求计算理赔金额 ( B_1 ) 为 1500 元的概率。
根据全概率公式，我们有：
[ P(B_1 = 1500) = P(A_1)P(B_1 = 1500|A_1) + P(A_2)P(B_1 = 1500|A_2) + P(A_3)P(B_1 = 1500|A_3) ]
计算得：
[ P(B_1 = 1500) = 0.3 \times 0.6 + 0.4 \times 0.6 + 0.3 \times 0.5 = 0.42 ]
三、实战例题解析
以下是一些实战例题，帮助你更好地理解全概率公式：
例题 1
袋中有 5 个红球和 3 个蓝球，随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解答
设事件 ( A ) 为“取出的 2 个球都是红球”，事件 ( B_1 ) 为“取出的第一个球是红球”，事件 ( B_2 ) 为“取出的第二个球是红球”。根据全概率公式，我们有：
[ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) ]
其中，( P(A|B_1) = \frac{4}{8} )，( P(B_1) = \frac{5}{8} )，( P(A|B_2) = \frac{3}{7} )，( P(B_2) = \frac{4}{8} )。计算得：
[ P(A) = \frac{4}{8} \times \frac{5}{8} + \frac{3}{7} \times \frac{4}{8} = \frac{15}{56} ]
例题 2
某工厂生产的产品有 3 种质量等级：合格、次品、废品。已知合格品、次品、废品的概率分别为 0.8、0.1、0.1。在合格品中，有 90% 的概率是 A 类，10% 的概率是 B 类；在次品中，有 70% 的概率是 A 类，30% 的概率是 B 类；在废品中，有 50% 的概率是 A 类，50% 的概率是 B 类。求随机取出的产品是 A 类的概率。
解答
设事件 ( A ) 为“随机取出的产品是 A 类”，事件 ( B_1 ) 为“随机取出的产品是合格品”，事件 ( B_2 ) 为“随机取出的产品是次品”，事件 ( B_3 ) 为“随机取出的产品是废品”。根据全概率公式，我们有：
[ P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3) ]
其中，( P(A|B_1) = 0.9 )，( P(B_1) = 0.8 )，( P(A|B_2) = 0.7 )，( P(B_2) = 0.1 )，( P(A|B_3) = 0.5 )，( P(B_3) = 0.1 )。计算得：
[ P(A) = 0.9 \times 0.8 + 0.7 \times 0.1 + 0.5 \times 0.1 = 0.78 ]
通过以上实战例题解析，相信你已经对全概率公式有了更深入的理解。在实际应用中，全概率公式可以帮助我们解决各种复杂的概率问题，让我们在数学的海洋中游刃有余。