例题 1：系统响应分析
题目描述
一个控制系统由传递函数 ( G(s) = \frac{K}{s(s+2)} ) 组成，其中 ( K ) 是系统增益。求：
- 系统的单位阶跃响应。
- 系统的单位脉冲响应。
- 当 ( K = 1 ) 时，系统对输入 ( r(t) = t^2 ) 的响应。
解答
1. 单位阶跃响应
单位阶跃响应 ( y(t) ) 是系统对单位阶跃输入 ( r(t) = 1 ) 的响应。根据拉普拉斯变换和传递函数，我们有：
[ Y(s) = G(s)R(s) = \frac{K}{s(s+2)} \cdot \frac{1}{s} = \frac{K}{s^2(s+2)} ]
对 ( Y(s) ) 进行逆拉普拉斯变换，得到单位阶跃响应：
[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{K}{s^2(s+2)}\right} = K \left[ 1 - e^{-2t} \right] ]
2. 单位脉冲响应
单位脉冲响应 ( h(t) ) 是系统对单位脉冲输入 ( r(t) = \delta(t) ) 的响应。单位脉冲的拉普拉斯变换为 ( R(s) = 1 )，因此：
[ H(s) = G(s) = \frac{K}{s(s+2)} ]
对 ( H(s) ) 进行逆拉普拉斯变换，得到单位脉冲响应：
[ h(t) = \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{K}{s(s+2)}\right} = K \left[ 1 - e^{-2t} \right] u(t) ]
其中 ( u(t) ) 是单位阶跃函数。
3. 输入 ( r(t) = t^2 ) 的响应
对于输入 ( r(t) = t^2 )，我们首先对 ( r(t) ) 进行拉普拉斯变换：
[ R(s) = \mathcal{L}{t^2} = \frac{2}{s^3} ]
然后，利用卷积定理，系统的响应 ( Y(s) ) 是 ( G(s) ) 和 ( R(s) ) 的卷积：
[ Y(s) = G(s) * R(s) = \frac{K}{s(s+2)} * \frac{2}{s^3} ]
对 ( Y(s) ) 进行逆拉普拉斯变换，得到系统的响应：
[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{2K}{s(s+2)s^3}\right} = 2K \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \right] e^{-2t} u(t) ]
例题 2：系统稳定性分析
题目描述
一个控制系统的传递函数为 ( G(s) = \frac{K}{s^2 + 2s + 2} )。求：
- 系统的极点。
- 系统的稳定区域。
解答
1. 系统的极点
传递函数的极点是 ( s^2 + 2s + 2 = 0 ) 的根。解这个二次方程，得到：
[ s = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = -1 \pm i ]
因此，系统的极点是 ( s = -1 + i ) 和 ( s = -1 - i )。
2. 系统的稳定区域
为了确定系统的稳定区域，我们需要分析传递函数的极点。由于极点 ( s = -1 \pm i ) 都在复平面的左半部分，所以系统是稳定的。
在稳定区域内，系统的增益 ( K ) 可以是任意正值。因此，系统的稳定区域是 ( K > 0 )。