轻松掌握概率论：课后习题解答全解析

概率论作为数学的一个分支，是一门研究随机现象规律性的学科。在学习概率论的过程中，课后习题是巩固知识、检验学习效果的重要环节。本篇文章将针对概率论课后习题进行全解析，帮助读者轻松掌握相关知识。

基本概念回顾

在解答概率论课后习题之前，我们先回顾一些基本概念：

• 样本空间：试验所有可能结果的集合。
• 事件：样本空间的一个子集。
• 随机变量：表示随机试验结果的变量。
• 概率：表示某个事件发生的可能性大小。
• 概率分布：描述随机变量取值的概率规律。

习题解答方法

以下列举几个常见类型概率论课后习题的解答方法：

1. 古典概型

习题类型：求在特定条件下事件发生的概率。

解答思路：计算满足条件的结果数与总的可能结果数的比值。

例题：掷两个均匀的正方体骰子，求两个骰子的点数之和为7的概率。

解答过程：

• 样本空间：S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), …, (6,5), (6,6)}
• 满足条件的结果数：{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
• 概率：P(A) = 6 / 36 = 1 / 6

2. 条件概率

习题类型：已知某个事件发生的条件下，求另一个事件发生的概率。

解答思路：利用条件概率公式计算，P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

例题：甲、乙两人投篮的命中率分别为80%和60%，若甲先投，求甲投不进而乙投进的概率。

解答过程：

• P(A) = 0.8（甲投篮命中概率）
• P(B) = 0.6（乙投篮命中概率）
• P(A∩B) = 0.8 * 0.4（甲不中，乙中）
• P(B|A) = (0.8 * 0.4) / 0.8 = 0.4

3. 独立事件

习题类型：判断两个事件是否相互独立。

解答思路：判断事件A发生的条件下，事件B是否仍保持原概率。

例题：掷两个均匀的正方体骰子，判断事件A：“第一个骰子的点数小于4”和事件B：“第二个骰子的点数小于4”是否相互独立。

解答过程：

• P(A) = ³⁄₆ = 1/2（第一个骰子点数小于4的概率）
• P(B) = ³⁄₆ = 1/2（第二个骰子点数小于4的概率）
• P(A∩B) = ³⁄₁₂ = 1/4（两个骰子点数均小于4的概率）
• 由于P(A∩B) = P(A) * P(B)，因此事件A和B相互独立。

4. 概率分布

习题类型：已知随机变量的概率分布，求期望、方差等指标。

解答思路：

• 求期望：E(X) = Σxi * P(xi)
• 求方差：D(X) = Σ(xi - E(X))^2 * P(xi)

例题：某连续型随机变量的概率密度函数为f(x) = {k * x, 0 < x < 1；0，其他}，求随机变量的期望和方差。

解答过程：

• 由概率密度函数可知k = 1/2。
• E(X) = ∫[0,1] x * f(x)dx = ∫[0,1] x * (¹⁄₂)x dx = ¹⁄₃
• D(X) = ∫0,1^2 * f(x)dx = ¹⁄₁₂

总结

本文对概率论课后习题进行了全解析，帮助读者更好地理解相关概念和方法。在解答习题时，要熟练掌握基本概念，并运用适当的方法进行分析。通过不断练习，相信大家能轻松掌握概率论这一重要数学分支。